计算机图形学 21：光怎样经过多次反射

白色地板靠近红墙时，为什么会带上红色？只计算“地板直接看见白灯”的路径，地板仍是灰白的。要产生墙面的颜色影响，还需要计算灯先照到墙、墙再照到地板的贡献。

本篇把第 18 篇的最近交点、第 19 篇的反射积分和第 20 篇的随机估计接起来。场景只有一个开口盒子，除顶灯外都是 Lambert 表面。颜色渗透用墙色对照与线性数值检查，路径终止则另有可手算的控制实验。

从相机方向逐段估计入射光

相机射线先找到表面 x。它向相机发出的光包含自身发射，也包含来自其他方向的反射。对反射积分抽取一个方向 ω，沿该方向再求最近交点 y，就把 x 的未知入射光转成了 y 向 x 的出射光。

这条计算路径从相机出发，与通常描述的“光从灯传播到相机”方向相反。它是一种积分求解顺序，不是宣称真实光子从相机射出。每次只延长一个随机方向，形成一条路径；重复多条路径再平均。

用 β 保存到当前顶点之前的累计权重，初值为 RGB 三个通道的 1。采到下一段方向后更新：

\beta_{new}=\beta\frac{f_r(x,\omega_i,\omega_o)|n\cdot\omega_i|}{p_\omega(\omega_i)}.

其中 PDF 相对于立体角定义。命中发光表面时，累加 βLₑ。本篇没有另采灯面，也没有下一事件估计，所以不需要在两种采样策略之间加 MIS 权重；这一部分留到下一篇。

辐亮度沿当前无介质、无遮挡的线段传播，不额外乘距离平方倒数。灯的远近会通过其张开的立体角影响随机方向命中概率；再次乘 1/r² 会把这个几何影响重复计算。

Lambert 表面怎样抽方向

取两个均匀数 u、v，令 r=√u、φ=2πv，先在局部坐标构造：

\omega_{local}=(r\cos\phi,r\sin\phi,\sqrt{1-u}).

它可以理解为均匀圆盘样本投影到正半球，方向的立体角密度为 pω=cosθ/π。代码选择不平行于法线的辅助轴，用叉积构造正交基，再把局部方向转换到世界空间。

Lambert 的 fᵣ=ρ/π，与该 PDF 配合后，吞吐量更新约成 βnew=βρ。余弦和 π 被比值抵消了，并不是实现忘记了投影项。如果换成均匀半球采样，仍然只乘 ρ 就会算错。

cosine_direction 在 +Z、+Y、−X 三种法线下各测试 65,536 个方向，检查单位长度和正半球。合并后的平均 cosθ 为 0.666057，解析值为 2/3，检查容差为 0.003。几何检查与分布矩检查各自回答不同问题，不能只看方向长度就认定分布正确。

方向随机数复用第 20 篇的开区间生成方式。固定种子使本机实验可重复，有限伪随机序列仍不等于连续概率模型的独立实数样本。

五个面组成一个可追查的盒子

盒子范围为 [−1,1]³，前面 z=1 开口，外部为黑色。其余五面由十个三角形组成，法线全部朝内；求交仍用原有 BVH。表面是单面的，命中背面不会继续反射。

顶面 y=1 全部发白光，Lₑ=(4,4,4)，反射率为零。地板和背墙反射率为 (0.65,0.65,0.65)，左墙为 (0.7,0.1,0.1)，右墙为 (0.1,0.7,0.1)。这里用线性 RGB 近似颜色传输，没有光谱积分、玻璃或参与介质。

每次散射后，射线起点沿内向法线偏移 10⁻⁷ 个场景单位，减少自身求交。这个值针对边长 2 的盒子；它不是对任意尺度几何都稳健的误差界，第 17 篇讨论的偏移局限仍然存在。

相机位于 (0,0,3.2)，看向原点，垂直视场角 0.75 弧度。输出 96×96 像素，每像素 256 条路径，图像种子固定为 20260920。每个像素的主光线都通过像素中心，仅后续散射随机化，因此这里没有验证像素面积抗锯齿。

深度数的是哪些顶点

固定深度 D 表示最多访问 D 个命中表面，相机本身不计入。D=2 允许“相机→地板→灯”，只有一次漫反射；D=4、8 允许更多表面反射后再到灯。达到上限时，当前表面的发光仍会累加，但不再向后延长。

程序把直接看见灯，以及一次表面反射后看见灯，合并在 direct 字段；更长的发光路径进入 indirect。因此图像中的 direct 并非只含反射项。下文探针第一步必定命中地板，其 direct 才纯粹对应地板的直接照明。

固定 D 遗漏所有更长路径。只要这些路径还有非零贡献，估计就有截断偏差。样本数增加只能降低当前截断模型的噪声，不会补回被深度规则禁止的路径。

D=2 实际结果：

D=8 实际结果：

图中白色地板与背墙在多次反射后受到彩墙影响。不能仅凭更亮、更平滑就判断正确；下面的控制实验保持几何和光源不变，只改变墙色。

颜色渗透怎样排除材质本身的变化

探针从 (−0.65,−0.8,0) 沿 −Y 发射，命中靠近左墙的同一个地板位置。地板反射率始终为灰色。对三种墙面配置、四种终止方式，分别运行种子 1 到 8，每次 16,384 条路径，得到 96 行原始记录。

三种配置为红左绿右、双灰墙 (0.3,0.3,0.3)、绿左红右。没有按当前误差提前结束。相同终止策略和种子下，这些配置消耗相同随机数；原始数据逐组检查直接光完全相同，交换墙色则使间接光的红绿通道精确交换。

D=8 的墙面配置	间接 R	间接 G	间接 B
红左绿右	0.22840410	0.14481356	0.08742002
双灰墙	0.15494382	0.15494382	0.15494382
绿左红右	0.14481356	0.22840410	0.08742002

这些是八次运行的线性均值，尚未色调映射。全部三种配置的 D=8 直接分量均为 (0.55389252,0.55389252,0.55389252)。探针靠左，左侧颜色对间接分量的影响更强；换墙色后影响随之交换，地板参数从未改动。

PNG 则先把线性值按参考辐亮度 1 归一化，再应用 u/(1+u) 和 sRGB 编码。显示映射与量化改变了通道关系，定量判断必须读取映射前的 CSV，不能从截图反推高精度比值。

随机终止为什么必须补偿

俄罗斯轮盘在本篇的第三次散射及以后，每次以 s=0.8 的概率继续。若继续，β 除以 s；否则结束。对于还未计算的后续贡献 C，条件期望为 s×C/s+(1−s)×0=C。

这并不让每条路径的能量都保持原值，而是让保留下来的路径代表被丢弃路径的统计份额。省略除法会系统性变暗。RR 也不保证降低方差，它首先改变的是计算量分配与终止方式。

当前 RR 没有正常的固定深度截断。为防实现失控，4096 层是紧急保护限，触发后直接让实验失败，不返回一个截断结果冒充成功。本次探针 RR 最长访问 23 个表面，保护限未触发。理想概率模型下，每次都有固定非零终止概率，路径几乎必然有限。

RR 实际图像如下：

不同终止策略消耗的随机数数量不同，即使种子相同，也不构成逐路径配对。三幅图都使用相同分辨率和每像素路径数，没有计时，因此不能据此比较单位时间画质。

用几何级数单独检查终止逻辑

先离开几何场景，计算 S=1+1/2+1/4+…=2。固定保留 D 项得到 2(1−0.5ᴰ)，D=2、4、8 分别为 1.5、1.875、1.9921875，截断偏差可以直接算出。

随机版本每次先加入当前项，再以 s=0.75 决定是否继续；幸存权重乘 0.5/s。它复用路径代码的 roulette 补偿函数。另运行一个故意不除 s 的错误版本，其期望为 1/(1−0.5s)=1.6。

每个种子运行 65,536 次完整级数估计，共八个种子。正确版本的跨种子均值为 1.99910149，均值标准误为 0.00111921；错误版本为 1.59945847，标准误为 0.00058730。两者分别与 2 和 1.6 相符。

这个实验能发现生存补偿错误，却不能独自证明盒子绕序、法线或发光方向正确。它与场景控制实验共同构成证据，不能相互替代。

固定深度与 RR 的差别有多大

对红左绿右探针，总辐亮度的跨种子均值和标准误如下。标准误按八个完整运行结果的样本标准差除以 √8 计算，不把同一次运行内部的所有路径都当成八次试验。

终止方式	总 R ± SE	总 G ± SE	总 B ± SE
D=2	0.551532 ± 0.001991	0.551532 ± 0.001991	0.551532 ± 0.001991
D=4	0.753763 ± 0.003645	0.686020 ± 0.003491	0.636780 ± 0.003795
D=8	0.782297 ± 0.002161	0.698706 ± 0.002405	0.641313 ± 0.002546
RR	0.788720 ± 0.001968	0.702413 ± 0.001917	0.645239 ± 0.002047

对每个种子先计算 RR−D，再对八个差值统计，RR−D2 的 R 均值为 0.237188，标准误 0.003304；RR−D8 的 R 为 0.006423，标准误 0.002467，G 为 0.003707±0.002207，B 为 0.003926±0.002874。

D=2 的缺失贡献明显，D=8 与 RR 的差异已经接近当前实验的统计波动尺度。不能把 D=8 称为无偏真值，也不能由有限样本差值精确测出无限路径尾项。使用相同种子计算差值只规定了比较方式，没有把不同终止路径强行当作相同样本。

复跑与练习

1
2
3

make -C examples/computer-graphics check
examples/computer-graphics/build/path_check examples/computer-graphics/build
python3 examples/computer-graphics/summarize_paths.py examples/computer-graphics/build

核心代码为 path_trace.hpp，实验驱动为 path_check.cpp。可下载96 行探针记录、36 行跨种子汇总和八次终止实验。完整日志、图像范围检查与摘要保存在 writing-plans/computer-graphics/evidence/21-*.txt。

练习一：Lambert 表面改用均匀半球 PDF=1/(2π)，每次吞吐量应乘什么？

答案：乘 (ρ/π)cosθ÷[1/(2π)]=2ρcosθ。只有与余弦 PDF 配对时才能约成 ρ。

练习二：RR 以 0.8 概率继续，但幸存时不除 0.8，经过三次这样的选择后，后续项的期望被乘了多少？

答案：乘 0.8³=0.512。增加路径数量会更稳定地估计这个错误期望，不会修复变暗。

练习三：为什么同一个白色探针在彩墙、灰墙实验中直接光一致，间接光不同？

答案：直接路径只涉及相机、地板与白灯，几何和这两种表面没有变化；间接路径包含墙面反射，吞吐量会乘墙面的不同 RGB 反射率。