计算机图形学 02：相机怎样把空间投到屏幕

一个点的屏幕横坐标算错，可能来自模型位置、相机姿态、投影矩阵、透视除法或视口映射。只打印最终像素，无法区分这些原因。本篇让一个点逐站输出坐标，并用近平面、远平面与相机后方的样本检查边界。

实验沿用第 01 篇的列向量与右手系。相机朝自身的 −Z 方向观察；透视投影后的 NDC 横纵坐标范围是 [-1,1]，深度范围是 [0,1]。这些是本系列的具体选择。不同教材可以使用不同约定，矩阵必须随之变化。

从物体位置到相机坐标

模型空间用于描述物体自身的几何，例如一个三角形相对于其建模原点的位置。模型矩阵 M 把它放进世界空间。观察矩阵 V 再将世界坐标表达为相机坐标，投影矩阵 P 产生裁剪坐标：

$$p_{clip}=PVMp_{model}.$$

这不是三个任意可交换的操作。按照第 01 篇的列向量约定，最右侧的 M 先作用；写成 MVP 会改变含义。实现中分别保存中间结果，验收通过后才有理由预先合并矩阵。

设模型点为 $(1,0,0,1)$，模型矩阵将物体沿 Z 平移 −1，世界坐标便是 $(1,0,-1,1)$。相机位于世界点 $(0,0,1)$，朝原点看，竖直参考方向为 $(0,1,0)$。相机没有额外旋转，观察矩阵只需从世界点中减去相机位置，所以相机坐标为 $(1,0,-2,1)$。

相机前方点的 z 为负，这是后面 $w=-z$ 的来源。不能把“距离为 2”直接填成相机坐标 z=2；距离非负与有向坐标是不同概念。

look-at 怎样构造一组相机基

一般相机不一定正对世界 −Z。给定相机位置 e、目标点 t 和参考上方向 u，先构造相机后向单位向量：

$$b=\frac{e-t}{\|e-t\|},\qquad r=\frac{u\times b}{\|u\times b\|},\qquad v=b\times r.$$

r、v、b 分别是相机的右、上、后方向。观察矩阵前三行是这些基向量，第四列为它们与相机位置的负点积：

$$V=\begin{bmatrix} r_x&r_y&r_z&-r\cdot e\\ v_x&v_y&v_z&-v\cdot e\\ b_x&b_y&b_z&-b\cdot e\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}.$$

于是相机坐标的第一分量为 $r\cdot(p-e)$，即相对位移沿相机右方向的投影。其余两行同理。这个推导说明 V 是世界到相机的变换，不能把相机在世界中的位姿矩阵不求逆就当作 V。

参考上方向不必已归一化，也不必与视线严格垂直，但不能与视线平行。相机位置等于目标点时，b 无法归一化；参考上方向平行于 b 时，叉积为零。这两种输入在本实验中抛出异常。近乎平行仍可能数值敏感，当前实现没有宣称适用于任意极端尺度。

透视先来自相似三角形

在相机前方放一个虚拟成像平面。相机坐标为 $(x,y,z)$、z<0 的点，与相机原点连线。相似三角形给出投影横纵坐标正比于 $x/(-z)$ 与 $y/(-z)$。保持 x 不变而把距离翻倍，投影横向偏移就减半。

令竖直视场角为 $\theta$，宽高比为 a，$s=\cot(\theta/2)$。将成像平面的可见范围归一化后，有：

$$x_{ndc}=\frac{s}{a}\frac{x}{-z},\qquad y_{ndc}=s\frac{y}{-z}.$$

宽高比 a 控制水平可见范围。给 640×480 视口采用 a=1，会将方形相机窗口映到矩形视口。本篇坐标追踪故意这样固定参数，方便手算；若希望横纵几何比例一致，应使用 a=640/480。矩阵参数与最终视口比例不一致，不是右手系或左手系问题。

投影不能只丢掉 z，因为渲染器还需要判定前后遮挡。设正的近、远距离分别为 n、f，满足 $0<n<f$。选取裁剪坐标 $w_c=-z$，并令 $z_c=Az+B$；要求 z=−n 时深度为 0，z=−f 时深度为 1，可以解得：

$$A=\frac{f}{n-f},\qquad B=\frac{fn}{n-f}.$$

所以本系列的透视矩阵是：

$$P=\begin{bmatrix} s/a&0&0&0\\ 0&s&0&0\\ 0&0&f/(n-f)&fn/(n-f)\\ 0&0&-1&0 \end{bmatrix}.$$

这套公式的前提包含相机 −Z、列向量和深度 [0,1]。PBRT 的相机约定为 +Z，其矩阵不能直接复制进当前代码再期待相同符号。核对教材时应比较映射目标与端点，不只比较矩阵外观。

裁剪坐标还不是屏幕坐标

取 $n=1,f=10,\theta=90°、a=1$，前面的相机点 $(1,0,-2,1)$ 经 P 变为：

$$p_{clip}=(1,0,10/9,2).$$

这四个分量用于齐次裁剪。完成合法性判断后，再将前三个分量除以 w，得到：

$$p_{ndc}=(1/2,0,5/9).$$

本篇对单个点使用范围判定：

$$-w\le x\le w,\qquad -w\le y\le w,\qquad 0\le z\le w,$$

并要求 w>0、分量有限。inside_clip 负责这个范围判断；divide_w 只负责正 w 与有限分量检查，不替代完整范围判定。一个点可能能除以 w，却在视锥外。调用方必须理解两个函数的不同职责。

相机平面上的点 z=0 产生 w=0，除法没有定义。相机后方 z>0 产生负 w；如果无条件相除，横纵坐标可能翻转后重新落入 [-1,1]，造成后方点似乎可见的错误。当前检查器分别验证这两种情况都被拒绝。

这只是单点判定。一个三角形有一个顶点在视锥外，并不表示整个三角形都不可见；三个顶点全部在外也可能仍与视锥相交。第 06 篇会在齐次空间把边裁到边界，生成交点后再透视除法。本篇不以“丢掉非法顶点”冒充三角形裁剪。

NDC 到图像数组还差一次映射

第 00 篇图像原点在左上，Y 向下；当前 NDC 的 Y 向上。宽 W、高 H 的视口使用：

$$x_s=(x_{ndc}+1)W/2,\qquad y_s=(1-y_{ndc})H/2.$$

对于 640×480，$(1/2,0)$ 得到 $(480,240)$。这里是连续屏幕坐标，不是已经选中的像素索引。NDC 的右边界 x=1 会映成 x=W，它是视口外边界，不能直接用于访问数组 at(W,y)。

后续三角形覆盖测试采用像素中心 $(i+0.5,j+0.5)$。哪个中心落在投影三角形内，需要另外计算；不能把每个顶点坐标截成整数就认为三角形已经光栅化。

同理，屏幕映射不改变深度 z。透视深度是关于相机距离的非线性函数：令 d=−z，则 $z_{ndc}=f/(f-n)-fn/((f-n)d)$。它在 n 与 f 处满足端点要求，中间却不等于距离的等比例缩放。后续深度精度实验会依赖这一差别。

正交投影改变了什么

正交投影不做随距离缩小。令可见窗口的半高为 h、宽高比为 a，本篇使用对称窗口，其矩阵为：

$$P_o=\begin{bmatrix} 1/(ha)&0&0&0\\ 0&1/h&0&0\\ 0&0&1/(n-f)&n/(n-f)\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}.$$

w 始终为 1，横纵坐标不再除以距离，深度则在 −n 到 −f 之间线性映到 [0,1]。它适合需要保留平行关系的示意或工程视图，但不会产生透视缩短。

实验选 h=2，比较同一横坐标 x=1 在 z=−2 和 z=−4 时的结果。两种投影在近一点处都给出 x=0.5；远一点处，透视变成 0.25，正交仍为 0.5。对照固定了两个实际点与窗口参数，没有把相机移动、缩放窗口和投影类型同时更改。

实际运行的坐标链

代码复用 math.hpp，新增 camera.hpp 与 camera_check.cpp。运行：

make -C examples/computer-graphics check
examples/computer-graphics/build/camera_check --help

本次 C++17 实际输出：

model 1 0 0 1
world 1 0 -1 1
view 1 0 -2 1
clip 1 0 1.11111111111 2
ndc 0.5 0 0.555555555556
screen 480 240
z -2 perspective_x 0.5 ortho_x 0.5
z -4 perspective_x 0.25 ortho_x 0.5
PASS near/far, perspective/orthographic, 5 outside points, 6 rejected inputs

检查器将这些结果与独立手算常数比较，绝对容差为 $10^{-12}$，并核对近、远平面深度分别为 0 与 1。五个范围外样本包括相机平面、相机后方、近面之前、远面之后和横向越界。

六个异常输入包括 w=0、w<0、相机与目标重合、上方向与视线平行、视场角为零和近远距离倒置。参数验证只定义当前有限规模的教学接口，不保证所有极端浮点参数都能安全产生矩阵。没有随机数、性能比较或三角形画面验收；本篇的证据是逐空间数值与边界检查。

练习与自检

练习一：保持画面比例。 将实验视口设为 640×480，投影视场角仍为竖直90°，但把 a 改成4/3。相机点 $(1,0,-2)$ 的屏幕横坐标变成多少？

答案：$s=1$，$x_{ndc}=(3/4)/2=3/8$，屏幕横坐标为 $(1+3/8)\times320=440$。横向可见范围扩大，因此相同点离中心的像素偏移从160减到120。不能只改视口尺寸却假定投影比例自动更新。

练习二：后方点与边界点。 相机点 $(0,0,1)$ 为什么不能直接除 w 后判断横纵范围？NDC 点 $(1,0,0.5)$ 映到640×480后，能直接作为合法数组索引吗？

答案：后方点 w=−1，横纵除完仍为0，单查横纵会误收；应在齐次范围与正w条件下拒绝。第二个点映到连续坐标(640,240)，x=640是外边界，合法像素列仍为0到639。覆盖测试需检查像素中心，数组访问需独立的整数边界检查。

系列导航与资料

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PBRT 4ed §5.2 Projective Camera Models，重点阅读5.2.1 Orthographic Camera、5.2.2 Perspective Camera与图5.2–5.6，核对投影、近远平面与坐标空间的用途。本文矩阵由本系列−Z相机和深度区间重新推导，不等同于PBRT源码约定。查阅日期2026-09-19。

源码：examples/computer-graphics/camera.hpp、camera_check.cpp；原始输出：writing-plans/computer-graphics/evidence/02-cpu.txt。三角形裁剪、遮挡和真实GPU投影尚不属于本篇验收。