计算机图形学 29：两个姿态之间怎样运动

一根杆从 170° 转到 −170°，终点只相隔 20°。直接混合两个角度，参数中点却是 0°，杆绕了 340°。更换成四元数还不够：同一个旋转有两个反号表示，若选错端点符号，插值仍可能走长路。

本篇固定两秒动画，比较朴素角度插值、最短弧 SLERP 与归一化线性插值。CPU 检查姿态、时间输入和角速度，浏览器真实绘制并提供拖动、播放、暂停。不同采样频率的验收比较同一绝对时刻，避免把“每帧加一点”造成的速度差误认为插值误差。

两个角度数字没有指定中间路线

打开关键帧实验。点击“核对CPU样本与GPU画面”，将时间放在 1000 毫秒，再切换插值方式。最短弧中点指向左，朴素角度中点指向右。

局部杆端点为 p=(1,0,0)，绕 +z 轴旋转，沿用第 01 篇右手系。正角将 +x 转向 +y；计算使用弧度，表格和图中使用度。时间以秒输入，屏幕显示毫秒滑块，两者相差 1000 倍。

起止角度 θ₀=170°、θ₁=−170°，时刻 t∈[0,2] 对应 u=t/2。直接线性混合得到：

$$\theta_{\rm naive}(t)=(1-u)170^\circ+u(-170^\circ)=170^\circ-340^\circ u.$$

t=1 时 θ=0°，杆端点为 (1,0,0)。将终点 −170° 展开成等价的 190°，则得到 θshort=170°+20°u，中点为 180°，端点为 (−1,0,0)。两条路线起止姿态相同，路径和角速度方向不同。

因此不能说“欧拉角插值一定走错”。本例只有单轴旋转，显式展开到 190°也能得到所需短路。三维多轴旋转还涉及旋转次序和角度坐标退化，四元数提供另一种统一的旋转表示，但同样需要选择路线。

上图来自 C++ 实际求值：上排朴素角度，下排最短弧，分别在 0、0.5、1、1.5、2 秒生成杆端点，再写成 SVG。圆与杆是计算结果的诊断显示，没有光照、透视和色彩积分；它不替代数值验收。

四个分量怎样表达一个旋转

采用 glTF 的 XYZW 顺序，q=(qx,qy,qz,qw)，最后一个分量是标量。给定单位旋转轴 a 和角度 θ，单位四元数为：

$$q=\bigl(a\sin(\theta/2),\cos(\theta/2)\bigr),\qquad \|q\|=1.$$

旋转使用半角，不是把普通三维方向再增加一个任意坐标。对纯向量四元数 (p,0)，旋转可写 q(p,0)q⁻¹。当前实现用等价的叉积形式，复用累计 Vec3：

$$v=(q_x,q_y,q_z),\quad h=2(v\times p),\quad p'=p+q_wh+v\times h.$$

此式要求 q 为单位四元数。rotate 的入口先归一化；非零有限的非单位输入按其方向归一化，零、NaN 和无穷明确拒绝。归一化先除最大分量，再求长度，避免有限的大分量在平方时直接溢出。它不承诺任意尺度的向量叉积都无溢出，输出仍检查有限值。

把 q 的四个分量全部反号，上式中的两个符号相互抵消，因此 q 与 −q 表示同一个旋转。只翻 z 而不翻 w 会改变旋转，不能称为“统一符号”。测试既覆盖 z 轴，也覆盖 normalize(1,2,3) 的一般轴，防止只对本例恰好成立。

判断两个四元数是否表示同一姿态，应比较旋转后的基向量，或使用含 |q₀·q₁| 的旋转距离。本实验检查三个单位基向量的最大欧氏差；直接比较四个分量会把正常的反号表示当成错误。

插值前先选球面上的端点

单位四元数位于四维单位球面。两个端点的点积 d=q₀·q₁ 是球面夹角的余弦。若 d<0，将 q₁ 整体反号，姿态不变，却选择了距离更近的球面端点。之后将点积钳制到 [0,1]，防止舍入使 acos 接收超出定义域的输入。

记球面夹角 α=acos(d)，SLERP 为：

$$q(u)=\frac{\sin((1-u)\alpha)}{\sin\alpha}q_0+ \frac{\sin(u\alpha)}{\sin\alpha}q_1.$$

物理旋转角是四元数球面角的两倍。本例原始点积为 cos170°<0；翻号后球面夹角为 10°，对应物体转动 20°。在 u=0.5 处得到 180°姿态，而不是通过零度。

当端点接近重合时，sinα 接近零，公式的分子与分母都很小。实现以 d>0.9995 切换为归一化线性混合，避免数值退化。这是选用的实现阈值，与 Khronos 教程示例相同，不能称为 glTF 规范规定的阈值。

q₁=−q₀ 的同姿态情形，经翻号成为完全相同端点，混合不会凭空转一圈。物理相差 180°时，球面角则是 90°，sinα=1，并不发生同一种分母退化；此时两条最短物理路线等长，需要明确确定性的端点选择。测试使用 identity 到 (0,0,1,0)，选择绕 +z 的半圈。

本例的符号负对照故意省略翻号。C++ 中混合中点回到零度；浏览器 JavaScript 的长弧球面插值也得到该中点，杆端点与正确结果相差 2 个单位。浏览器按钮核对的是 JavaScript 姿态对 CPU 样本，不是一个错误 WGSL 的 GPU 负对照。

走同一条弧，速度仍可能不同

归一化线性插值 NLERP 先算 (1−u)q₀+uq₁，再归一化。经过相同短弧，但参数推进一般不是恒定角速度。把球面起点放在 (1,0)，终点放在 (cosα,sinα)，混合方向的角度为：

$$\beta(u)=\operatorname{atan2}\bigl(u\sin\alpha,1-u+u\cos\alpha\bigr).$$

对 u 求导，可独立得到：

$$\beta'(u)=\frac{\sin\alpha}{1-2u(1-u)(1-\cos\alpha)}.$$

分母随 u 变化；物体角速度为 2β′du/dt。SLERP 在其精确分支中 β=uα，因此线性时间下物理角速度为 2α/T。这里的“恒定”既依赖插值方法，也依赖时间参数，不能略掉后者。

程序分别取 20°与 120°的两秒短弧，按 0.02 秒的相邻端点，用有符号 atan2 求实际角增量，再除以时间差。120°的结果如下，完整 200 行见 animation29-speed.csv。

方法	相邻样本平均角速度范围，度/秒
SLERP	60，最大偏差约 1.50×10⁻¹²
NLERP	49.8676861 到 66.1565273

表格中的 NLERP 数值是有限区间的平均速度，不是任意时刻导数的精确最大最小值。它足以展示中间更快、端点附近更慢；20°小弧的速度变化更小，也说明相近端点回退的代价有条件。

如果将 u=t/T 改成 ease 函数 e(t/T)，即便使用 SLERP，角速度仍要乘 e′/T。多段关键帧在接点处还可能改变旋转轴或速度。第 13 篇的位置连续与速度连续之分，在旋转动画里同样成立；本篇没有实现多段速度平滑或球面样条。

显示频率不能成为动画的时间单位

RotationTrack 保存严格递增的关键帧秒数。求值时先夹到首尾姿态，区间内找到相邻键，再算 u=(t−tk)/(tk+1−tk)。乱序、重复时间、非有限时间和空轨迹拒绝；单个关键帧则恒定返回这个姿态。

这是自有内存求值器，不是 glTF 导入器。glTF 还要求首个输入时间非负；本求值器允许有限的负关键帧时间，方便以任意原点描述运动。它保留严格递增与有限区间约束，不能据此宣称完整 glTF 兼容。

若每帧固定加 1/60 秒，30 Hz 显示下动画会变慢，144 Hz 下会变快。浏览器播放用 performance 的绝对时间减去播放原点；暂停保存当前位置，重新播放调整原点，拖动时间停止播放并重新求值，不依赖先前走过多少帧。

CPU 分别按 30、60、144 Hz 求出两秒内含端点的 61、121、289 个样本。每个都与独立解析角度 170°+10°t 的基向量结果比较。共同时间为 t=m/6 秒，三个频率各 13 个，共 39 次比较。

检查	实际最大基向量误差
全部 471 个样本与解析姿态	1.04738×10⁻¹⁵
39 个共同时间求值	0
跳过采样与倒退 seek	4.99600×10⁻¹⁶

共同时间误差为零只描述本次双精度求值，没有宣称任意设备位级相同。显示频率改变的是轨迹的取样密度；低密度仍可能看见跳动，掉帧也不会由正确时间公式自动消失。本实验没有测实际显示器刷新率或性能。

浏览器画面检查到什么程度

浏览器读取 C++ 生成的九个时刻样本，独立 JavaScript 插值后比较杆端点，最大差为 4.44956×10⁻¹⁶，阈值 10⁻¹²。这里检查时间与旋转计算；完整三个基向量和一般轴由 CPU 检查承担，不能把一个端点的对照扩大成所有旋转都通过。

WGSL 顶点着色器接收 16 字节 XYZW uniform，用叉积公式旋转由六个顶点组成的杆。画布为 256×256，局部显示杆长 0.8，绿色是固定诊断码值，不是光照结果。渲染到真实 GPU 附件后读回中点图：左侧内部像素 (36,128) 为 [0,255,0,255]，右侧 (220,128) 为 [0,0,0,255]。

这验证了中点方向和一次真实绘制，不是 GPU 全轨迹逐帧精度验证。时间拖动、切换角度模式、播放与暂停另在真实页面操作成功。设备报告 apple、metal-3、Chrome154，device/description 为空，不猜具体硬件型号。

初始化期间允许操作输入会产生竞态：设备已创建，管线和 uniform 却尚未就绪。实现以 ready 状态保护绘制，检查期间忽略时间与模式事件；初始化失败提示重新加载。Node 的延迟管线 mock 检查该保护和暂停、重启时只保留一个帧回调，不把 mock 当成真实 GPU 证据。

练习与复跑

练习一：仍从 170°到 −170°，但时长改为四秒。t=1 秒的短弧姿态是多少？若仍每帧固定推进 1/60 秒，在 30 Hz 下播放四秒会到哪里？

解题要点：u=1/4，姿态为 175°。错误推进只积累两秒动画时间，四秒墙钟后位于 180°而不是终点。这区分了时间映射和旋转路线。

练习二：identity 到 (0,0,1,0) 的球面夹角和物理角分别是多少？它与 q 到 −q 的分母问题一样吗？

解题要点：点积零，球面角 90°、物理角 180°，sinα=1。q 到 −q 表示相同姿态，选短弧后端点相同，走近重合回退；二者不能混为“都是反向”。

练习三：把单位 q 乘以 7，又把结果整体反号，能否仅用四分量差验收姿态？若只核对杆的一个端点，能否确认绕该杆轴的扭转也正确？

解题要点：先归一化后姿态不变，四分量可能相反，应比较旋转结果或符号不变距离。一个轴上的端点不能感知绕轴扭转，需增加不共线向量或比较完整旋转；本篇 CPU 使用三个基向量。

make -C examples/computer-graphics build/animation29_check
examples/computer-graphics/build/animation29_check examples/computer-graphics/build
node examples/computer-graphics/gpu29_guard_check.mjs

程序固定次数结束，没有随机数或性能统计。quaternion.hpp、animation29_check.cpp 与 gpu29.mjs 是累计入口；生成 JSON、SVG、CSV 保留实际输出。帮助、缺参数与不存在输出目录的失败另有记录。

参考资料与导航

• glTF 2.0.1 §3.5.3，XYZW 与单位旋转；§5.8.1，输入时间条件；Appendix C.4，SLERP 与符号选择。
• Khronos 动画教程的 Linear Interpolation，接近重合的归一化线性回退示例。
• PBRT 第三版 §2.9.2，四元数球面插值。数值对照、速度推导与失败策略是本篇有界实验，实际核验见 writing-plans/computer-graphics/evidence/research-29.md 和 29-review.md。

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