计算机图形学 09：法线怎样决定明暗

把模型横向拉长两倍，轮廓变化正确，高光却可能出现在错误位置。顶点位置和法线若都乘同一个缩放矩阵，程序不会报错，但法线已经不再垂直于表面。

本篇先用点积定位这个问题，再用同一个32三角形曲面比较平面与平滑着色。几何、覆盖与光源不变，只改变着色法线；所有颜色仍在线性域计算，最后沿用第04篇的sRGB输出。

法线保存的是垂直关系

三角形顶点为$p_0,p_1,p_2$时，两条边$e_1=p_1-p_0$、$e_2=p_2-p_0$位于表面内。非退化三角形的单位几何法线为：

$$n_g=\frac{e_1\times e_2}{\|e_1\times e_2\|}.$$

交换顶点绕序会改变叉积符号。零面积三角形没有唯一的面方向，本系列仍拒绝对零向量归一化，不通过更换分母掩盖退化几何。

顶点上还可以存一组用于着色的法线。它们可以来自原始光滑曲面，也可以由相邻面按明确权重平均。几何法线描述三角形本身，着色法线描述希望使用的局部朝向；两者用途不同，不能因为数组都只有三个分量就相互替代。

例如，一个球面由少量平面三角形近似时，面法线在每片内恒定，而顶点法线可以指向球心外侧。插值后的着色看起来更平滑，但三角形的真实位置和轮廓没有改变。

同乘缩放矩阵的反例

取切向量$t=(1,1,0)$、法线$n=(1,-1,0)$，两者点积为零。将x方向放大两倍，线性矩阵为$A=\operatorname{diag}(2,1,1)$。切向量必须随几何变为$At=(2,1,0)$。

若法线也直接乘A，得到$(2,-1,0)$，于是：

$$(At)\cdot(An)=2\times2+1\times(-1)=3.$$

这不是单位长度问题。把两个结果各自归一化，非零点积仍不会变成零；方向已经错了。只在着色前补一个normalize无法修复错误的变换。

要求新法线$n'$继续满足$n'^TAt=0$。令$n'=A^{-T}n$，则：

$$(A^{-T}n)^TAt=n^TA^{-1}At=n^Tt=0.$$

因此仿射变换的法线使用线性部分的逆转置。当前例子得到$(0.5,-1,0)$，与$(2,1,0)$点积恰为零。检查器实际输出错误路径3、正确路径0，比较发生在归一化之前，便于手算。

A仅取模型或模型视图变换的三阶线性部分，不含投影。平移不改变切向量，也不进入这个法线矩阵。若法线在世界空间、光方向却在相机空间，即使两个向量都归一化，点积也没有正确的几何含义。

旋转、剪切与奇异情况

纯旋转矩阵满足$R^{-1}=R^T$，所以$R^{-T}=R$，法线恰好能与方向使用相同矩阵。这解释了为什么某些程序旋转时正常，一旦非均匀缩放就出错。只用旋转测试，无法证明法线处理普遍正确。

累计实现transform_normal用三阶矩阵列向量的叉积构造逆转置作用，不额外引入通用矩阵库。若A的列为a、b、c，行列式$d=a\cdot(b\times c)$，则：

$$A^{-T}n=\frac{n_x(b\times c)+n_y(c\times a)+n_z(a\times b)}d.$$

除对角缩放外，实验还检查$x'=x+0.5y$的剪切。原切向量变成$(1.5,1,0)$，法线应变成$(1,-1.5,0)$，点积仍为零。这项检查能暴露“只对每个分量除缩放值”的不完整实现。

零缩放会使矩阵奇异，逆不存在。接口拒绝零行列式、非有限矩阵和非仿射矩阵；运算得到非有限法线也拒绝。它没有实现近奇异矩阵的条件数估计，因此不承诺极端尺度下的数值稳定性。

负行列式还会改变朝向。代数恒等式$(Au)\times(Av)=\det(A)A^{-T}(u\times v)$表明，变换后重新叉积的几何法线可能与直接逆转置的法线反向。镜像模型需要连同顶点绕序、外侧约定和剔除策略处理。本次图像没有镜像，不用它证明镜像路径已经验收。

余弦项与经验高光

设单位法线为n，单位光方向l从表面指向光源。对正面受光的一侧，漫反射余弦因子为$d=\max(0,n\cdot l)$。这里先把它称为因子，避免将一个无量纲余弦误当成完整辐射亮度。

Lambert反射模型的BRDF为$\rho/\pi$，最终出射光还依赖入射光及其方向积分。当前直接光教学式把光强等常量折入系数，计算$k_d d$；它不包含完整照明积分，也没有处理间接反射和遮挡。下一篇才加入阴影。

经验高光使用Blinn–Phong形式。单位视线v也从表面向外，半程向量$h=\operatorname{normalize}(l+v)$，高光因子为：

$$s=\max(0,n\cdot h)^p,\qquad p>0.$$

本实现对背光或背向视线的表面关闭这个直接高光。l与v相反时，和向量可能为零，也不能归一化。参数p控制高光集中程度，不等于一个已经标定的物理粗糙度。

取$n=(0,0,1)$、$l=v=(0,\sqrt3/2,0.5)$、p=4。因为h=l，漫反射因子为0.5，高光为$0.5^4=1/16$。实际检查结果为0.5与0.0625000000000001，误差在$10^{-12}$阈值内。反向光源样本的高光为零。

这个经验式没有被声明为能量守恒的完整材质。随意叠加任意大的漫反射和高光系数，可能让反射能量失去物理解释。当前系数只是固定图像对照条件，不能据此推导真实材料参数。

同一块曲面，两种着色

实验取单位球面前部的一块网格。x范围为[-0.75,0.75]，间隔0.375；y范围为[-0.5,0.5]，间隔0.25。25个顶点的位置为：

$$p=(x,y,\sqrt{1-x^2-y^2}-3).$$

每个网格四边形拆成两个三角形，共32片。顶点着色法线取$(x,y,\sqrt{1-x^2-y^2})$，其长度为1。模型位于相机前方−Z区域，面法线朝+Z。

采用正交投影，屏幕位置为$(128(x+1),128(1-y))$，w均为1。这使本篇能单独观察法线插值；一般透视相机仍须像第07篇UV那样先按1/w修正权重，再对插值法线归一化。

平面版本每个三角形使用一个几何法线。平滑版本按屏幕重心权重组合三个顶点法线，再归一化。单位向量的线性平均一般不是单位向量，例如$(1,0,0)$与$(0,1,0)$的平均长度只有$1/\sqrt2$，所以最后一步不能省。

光方向为归一化的(-1,1,2)，正交视线为(0,0,1)，高光指数32。线性颜色固定为：

$$C=(0.04,0.03,0.02)+(0.6,0.3,0.12)d+(0.25,0.25,0.25)s.$$

第一项只是教学底色，不冒充环境光的物理计算。各分量最大不超过0.89，因此本实验不触发高光压缩，直接进行一次sRGB编码。

两张图来自实际C++输出，原始尺寸256×256，经sips转换PNG。第一张可见三角形面片，第二张出现连续高光；外侧仍是相同矩形裁取范围，并不是生成了更多几何。

数值证据能排除哪些误判

两个版本共享同一次覆盖判断，共写入24,576个样本，即192×128。24,190个像素的最终RGB不同。这个差异数不评价哪种风格更好，只确认法线改变确实影响了着色，而不是误把相同图像当成对照。

平滑法线的$|n\cdot n-1|$最大为$4.44089209850063\times10^{-16}$。它验证当前样本归一化后的长度，不证明法线等于精确球面在每个像素处的法线。顶点法线在三角形内插值仍是近似，几何表面本身也是分片平面。

本实验没有比较投射阴影、曲面细分或透视投影的法线图。平滑着色改变的是光照输入，不会修复粗糙轮廓、错误深度或遮挡关系。若误把着色法线用于几何可见性，可能制造另一类错误。

在仓库根目录运行：

make -C examples/computer-graphics check
examples/computer-graphics/build/lighting_check examples/computer-graphics/build

输出目录须存在。累计检查复跑00–09，原始结果在writing-plans/computer-graphics/evidence/09-cpu.txt，两张图为lighting-flat.ppm和lighting-smooth.ppm。实验确定性运行，没有随机种子、性能计时或GPU结论。

练习与自检

练习一：把缩放改为$A=\operatorname{diag}(2,2,2)$，法线直接乘A再归一化，与逆转置再归一化是否一致？这个结果能否推广到非均匀缩放？

答案：正的均匀缩放只改变长度，两条路径归一化后方向相同。非均匀缩放会改变分量比例，正文的点积3与0反例已说明不能推广。负缩放还涉及朝向，需另行处理。

练习二：将所有顶点法线都替换成各自面法线，再进行插值，能否让低多边形轮廓变圆？为什么相同面的三个相同法线插值后仍保持平面着色？

答案：不会改变顶点位置与覆盖，轮廓不变。同一面三份相同法线的加权和仍为原法线，因为权重和为1；归一化也不改变方向。要改变轮廓需要修改几何，不能只更换着色输入。

系列导航与资料

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PBRT 4ed §3.10.3 Normals、§3.10.7 Handedness，法线逆转置及变换朝向。§6.5 Triangle Meshes与§9.2 Diffuse Reflection用于核对几何与着色法线、Lambert反射的边界。

Microsoft Specular Lighting，核对半程向量与高光指数。来源记录见evidence/research-09-11.md，法线变换和高光页面于2026-09-20再次查阅。上述手算样本、网格与颜色参数由本系列独立选定。