计算机图形学 19：表面颜色从哪里来

把材质反射率设为 0.6，像素就应该写成 0.6 吗？同一块表面放在不同照明下，显然不会保持相同的显示颜色。问题在于材质参数、到达表面的光、离开表面的光和屏幕码值分别代表不同的量。

本篇选择一个能手算的场景：不发光、不透射的漫反射平面，法线上方一个圆锥内有恒定入射辐亮度，其余方向为零。先算物理量，再用确定性求积核对，最后才把结果压缩到灰度图。它是已知入射条件下的局部积分，不是通用间接光照求解器。

功率落到面积上，还缺一个方向

辐射通量 Φ 表示单位时间传递的辐射能量，单位 W。把入射通量按表面积分配，得到辐照度 E=dΦ/dA，单位 W/m²。它回答一小块表面总共收到多少功率，没有保留这些光分别来自哪些方向。

方向分布由辐亮度 L 描述。通过面积 dA、沿某个小立体角 dω 传播的功率满足：

d\Phi=L\cos\theta\,dA\,d\omega.

θ 是该方向与表面法线的夹角，面积投影为 cosθ dA。L 的单位为 W/(m²·sr)，sr 是立体角单位球面度。一个方向范围在单位球面上覆盖的面积就是其立体角，完整球面为 4π sr，半球为 2π sr。

同样一块表面，从倾斜方向看见的投影面积较小，因此通量表达式含余弦。这不是材质凭空变暗的经验参数，而是面积投影产生的几何因素。

将入射方向上的辐亮度积分，得到辐照度：

E(x)=\int_{\Omega^+}L_i(x,\omega_i)(n\cdot\omega_i)\,d\omega_i.

这里 n 和 ωᵢ 都是单位向量，Ω⁺ 为 n 所在的正面半球。沿用表面散射中的方向约定，ωᵢ 指向光来自的方向，也就是从表面向外；真实入射传播方向与它相反。ωₒ 也从表面向观察方向，不把两者写成一入一出的向量再直接套同一符号。

辐亮度保留方向，辐照度累加方向。即使单位中都有 W/m²，也不能互换它们，更不能把法线点积直接称为辐亮度。第 09 篇将光强常量折入经验系数的做法，在这里需要展开量纲。

BRDF 是响应函数，不是最终颜色

双向反射分布函数 BRDF 定义微小入射辐照度对某个出射方向辐亮度的贡献：

f_r(x,\omega_i,\omega_o)=\frac{dL_o(x,\omega_o)}{dE_i(x,\omega_i)}.

因此 fᵣ 的单位是 sr⁻¹。它描述材质如何把不同入射方向的光分配到出射方向，不是无量纲的“像素颜色”。把所有入射贡献相加，就得到反射积分。

Lambert 模型选择 fᵣ=ρ/π，其中 ρ∈[0,1] 是无量纲反射率。为什么要除 π？固定入射方向后，对出射半球积分 fᵣ cosθₒ dωₒ，总反射份额应为 ρ，而余弦加权半球积分等于 π。

如果漏掉这个归一化，使用 fᵣ=ρ，即使 ρ=0.6 仍可能让积分反射份额大于 1。单看材质参数落在 [0,1] 并不能证明反射模型守恒。另一方面，一般 BRDF 在很窄的方向峰值可以大于 1 sr⁻¹，守恒约束针对积分，不是简单逐点裁剪。

Lambert 出射辐亮度不随正面观察方向改变。这不表示等立体角方向携带相同通量；通量还乘出射面积的余弦投影。也不表示所有真实哑光材料都精确遵循这个模型，尤其掠射等情况可能偏离。

当前 lambert_brdf 只实现正面反射：入射和出射余弦都大于零时返回 ρ/π，否则返回零。掠射边界按零处理，不影响普通积分的测度。反射率、余弦都要求有限且在合法范围内，它们仍是普通 double，没有静态单位类型系统。

BSDF 与渲染方程各自增加了什么

BRDF 只讨论反射。BSDF 统称表面散射分布，还可以包含透射。对于不透射的单面表面，积分在正面半球上即可；玻璃会把光带到另一侧，需要不同的散射项、介质与折射约定，不能把同一个 Lambert 半球积分直接称为玻璃模型。

对本篇的不透射表面，出射辐亮度由自身发射和反射贡献组成：

L_o(x,\omega_o)=L_e(x,\omega_o)+ \int_{\Omega^+}f_r(x,\omega_i,\omega_o) L_i(x,\omega_i)(n\cdot\omega_i)\,d\omega_i.

量纲依次为 sr⁻¹、W/(m²·sr)、无量纲余弦、sr，乘积积分后仍是 W/(m²·sr)，与左边相同。漏掉余弦或重复乘余弦不会被量纲检查全部识别，还需要几何推导和数值例子。

式子的难点在 Lᵢ。真实场景中，它可能来自其他物体反射，而那里的出射又依赖更多位置的入射。第 17、18 篇提供沿方向找到最近表面的能力，并没有自动算出那个表面向这里发出多少光。

在无遮挡、无参与介质且折射率不变的自由传播段，辐亮度沿射线保持不变。距离改变会影响有限光源在接收点张开的立体角，不能因此给每条辐亮度射线再随意乘一次距离平方衰减。点光源强度到辐照度的关系与此采用不同的量和几何表达。

本篇直接指定 Lᵢ，把未知的全场景耦合变成可解的小问题。后续路径积分才求多次反射，当前结果不能作为颜色渗透或全局光照的验证。

一个圆锥照亮平面，积分是多少

令法线沿 +Z，入射辐亮度在 θ∈[0,α] 内恒为 L，所有方位角 φ∈[0,2π) 都有光，圆锥外为零。α 在 0 到 π/2 之间。球面坐标的立体角微元为 dω=sinθ dθ dφ，因此：

E=L\int_0^{2\pi}\int_0^\alpha \cos\theta\sin\theta\,d\theta\,d\phi =\pi L\sin^2\alpha.

不发光 Lambert 表面于是得到 Lₒ=(ρ/π)E=ρL sin²α。这里的 sinθ 来自积分测度，cosθ 来自投影，它们不能互相替换。

取 L=2 W/(m²·sr)、ρ=0.6。α=90° 时整个半球入射，E=2π W/m²，Lₒ=1.2 W/(m²·sr)。α=30° 时 sin²α=1/4，Lₒ=0.3；α=60° 时为 3/4，Lₒ=0.9。

半球不是简单把 L 乘 2π。方向越接近地平线，投影余弦越小，所以余弦加权立体角为 π。忽略这点会把入射总量算大一倍。

同一个半球例子若漏掉 BRDF 中的 π，错误结果为 0.6×2π≈3.769911。若余弦重复乘一次，积分变成 2πL/3，错误 Lₒ 为 0.8。检查器打印这两个解析反例值；它们是手算表达式的数值展示，没有冒充两套错误渲染器的运行比较。

数值求积怎样验证解析值

cone_irradiance 在 θ 与 φ 方向均匀划分区间，用每个 θ 小格中心的 cosθ sinθ 乘 ΔθΔφ 后累加。当前被积函数与 φ 无关，方位角循环只是重复相同权重；程序另检查 1 份和 32 份方位角结果一致。

对每个 α，固定方位角份数 32，把极角份数依次设为 4、16、64、256。没有随机数、种子或俄罗斯轮盘，终止由固定网格规模决定。这是中点求积收敛检查，不是蒙特卡洛误差统计。

α	4 份绝对误差	16 份绝对误差	64 份绝对误差	256 份绝对误差
30°	0.00449485	0.000280401	0.0000175230	0.00000109518
60°	0.0542639	0.00336608	0.000210281	0.0000131422
90°	0.164444	0.0101046	0.000630869	0.0000394267

表中误差是 E 的误差，单位 W/m²；不是 PNG 灰度差。每次将极角份数扩大四倍，误差约缩小十六倍，与光滑函数上中点公式的二阶行为相符。这个特定结果不能保证含遮挡跳变的积分也有相同误差规律。

在 256×32 网格上，半球 E=6.28322473387245，对应 Lₒ=1.20000752994367。程序要求三种角度的 E 最终绝对误差小于 4×10⁻⁵ W/m²，并核对六种材质/入射配置的 Lₒ 误差小于 2×10⁻⁵ W/(m²·sr)。阈值针对本次有界数值实验，不当作任意场景的精度承诺。

从物理量到屏幕码值

反射率为 0.6 并不妨碍 Lₒ 大于 1。前者是份额，后者是带单位的辐亮度；当半球 L 从 2 增到 4，Lₒ 从 1.2 增到 2.4，仍然只反射入射能量的 60%。把 Lₒ 裁成 1 会破坏这个关系。

显示阶段先选择参考辐亮度 Lref=1 W/(m²·sr)，得到无量纲 u=Lₒ/Lref，再沿用第 04 篇的 T(u)=u/(1+u)，最后执行 sRGB 编码和 8 位量化。参考值是本次曝光尺度的选择，不代表显示器已完成辐射标定。

每块为 128×128，按从左到右、从上到下编号。它们是实际积分输出的均匀平面样本，不是三维场景截图。标量结果复制到三个 RGB 通道形成灰阶，不把这三个相同数字称为完整光谱。

位置	Lᵢ	ρ	α	解析 Lₒ	实际 Lₒ	8 位码值
上左	2	0.6	90°	1.2	1.20000753	195
上中	2	0.6	30°	0.3	0.30000021	132
上右	2	0.6	60°	0.9	0.90000251	183
下左	2	0	90°	0	0	0
下中	2	1	90°	2	2.00001255	213
下右	4	0.6	90°	2.4	2.40001506	219

Lᵢ、Lₒ 两列单位均为 W/(m²·sr)。同样的 ρ=0.6 在前三块显示为不同灰阶；下右还说明入射翻倍后，物理 Lₒ 翻倍，经过压缩的码值却不会翻倍。

原始数值 CSV 保存 Lᵢ、ρ、圆锥角、E、未截断 Lₒ、解析值、显示线性值和码值。换显示曲线可以重新处理 CSV，无需重算积分；只有最终 PNG 则无法恢复被量化的信息。

复跑与练习

1 2	`make -C examples/computer-graphics check examples/computer-graphics/build/radiometry_check examples/computer-graphics/build`

代码是 radiometry.hpp 与 radiometry_check.cpp。writing-plans/computer-graphics/evidence/19-cpu.txt 保存全部网格结果和拒绝样本计数。方向正反面、掠射边界、方位划分一致性、零圆锥及非法输入均有检查；单位由接口约定、推导与 CSV 表头表达，没有虚构编译器的量纲验证能力。

练习一：L=3 W/(m²·sr)，ρ=0.4，入射覆盖整个正面半球。E 与 Lₒ 各是多少？若把反射率改成 1，Lₒ 应是多少？

答案：E=3π W/m²，Lₒ=1.2 W/(m²·sr)。ρ=1 时 Lₒ=3，而不是被裁成 1。反射率限制总反射份额，不限制带单位的辐亮度数值。

练习二：圆锥半角从 30° 改为 60°，保持 L 和 ρ 不变，Lₒ 增加几倍？为什么不能只按角度翻倍计算？

答案：sin²60°/sin²30°=3，因此增加三倍。积分同时包含球面测度和投影余弦，面积与角度不是线性关系。

练习三：若把 BRDF 改成 ρ，量纲表仍给它标 sr⁻¹，量纲核对能发现漏 π 吗？

答案：不能，π 不改变单位。还需要反射半球积分与解析场景核对。量纲是必要检查，不能代替归一化和数值验收。