把上一篇的整面发光天花板缩成一小块灯，路径追踪仍能得到正确期望，但有限样本的图像会变得很吵。多数随机方向没有命中灯，少数命中方向承担了很大的贡献。增加样本能缓解问题，改变采样分布则可能更有效。

本篇在同一个小灯盒子中比较三种直接光估计：按表面反射分布选方向、在灯面选点，以及用多重重要性采样合并二者。先隔离一次散射，避免把多次反射、路径终止和采样策略混成一个误差来源。

小灯让哪些样本失效

盒子沿用第 21 篇的坐标和材质：地板 y＝−1，顶面 y＝1，前面开口；左墙红、右墙绿，其余表面灰。新灯位于 y＝0.99，朝下，边长 0.24，面积 A＝0.0576，三个通道的发射辐亮度均为 40。原来发光的顶面改成反射率 0.65 的灰色表面。

这改变了场景，不能把新图和上一篇直接比较为“算法加速”。下面三种策略使用的都是这个新场景。它们只计算相机直接见灯和相机命中表面后的直接灯光，不计算第二次表面反射。

探针放在地板中心，向内偏移 10⁻⁷，反射率 ρ＝0.65。若按 Lambert 的余弦分布抽方向，密度 pᵦ＝cosθ/π。命中灯时，fᵣcosθ/pᵦ＝ρ，所以一次非零样本为 ρLₑ＝26；未命中时为零。参考积分约为 0.1197953，因此命中概率只有约 0.0046075，即平均约 217 个方向才命中一次。

“绝大多数样本为零”不意味着估计公式错误。这里的问题是方差：对这个探针，每个样本近似是值为 26 或 0 的 Bernoulli 变量。少数命中数量的波动会直接表现为亮点和暗点。

从灯面取点，PDF 也要换单位

下一事件估计（NEE）在当前散射点额外连接一个光源样本，直接估计通向光源的那一段贡献。本篇只有一盏矩形灯，因此无需先抽选灯编号。若有多盏灯，最终密度还必须乘选中该灯的概率。

在矩形面积上均匀选点 y，面积密度 pₐ＝1/A。设 x 为接收点，r＝|y−x|，ω 指向灯，cₗ＝nₗ·(−ω)。对朝向接收点的灯面，面积微元和立体角满足：

dω=clr2dA,pl(ω)=pA(y)r2cl.d\omega=\frac{c_l}{r^2}dA, \qquad p_l(\omega)=p_A(y)\frac{r^2}{c_l}.

pₐ 的单位是面积的倒数，pₗ 的单位是立体角的倒数。不能直接把 1/A 放进方向积分的分母，也不能把它与 pᵦ 比大小。这不是符号选择，而是同一个事件在两种测度下的密度转换。

接收面余弦为 c＝max(0,n·ω)，单次灯采样贡献为 V Lₑ(ρ/π)c/pₗ。V 是有限线段的可见性。代入换元后，也可以写成 V Lₑ(ρ/π)c cₗ A/r²。这两种写法必须得到同一个数。

距离平方倒数在面积形式里出现，在沿射线传输的辐亮度上不应再乘一次。这里的 1/r² 来自灯面张开的立体角。单面发射还要求 cₗ＞0；把背面余弦取绝对值后继续发光，会把本来朝上的灯错误地照到地板上。

程序把接收点偏移一次，随后从这个点重新计算方向、距离和两种 PDF。阴影射线的最大参数略小于灯面距离，避免把被连接的灯自己当作遮挡物。这组固定尺度实验用 10⁻⁷ 的法线偏移和 10⁻⁹ 的相对端点收缩；它们不是适用于任意尺度场景的误差界。

为什么两种正确估计不能直接相加

BSDF 采样和灯面采样都在估计同一份直接光积分。若各自算完再相加，期望就变成两份光。错误对照保留了这种写法，用来检测重复计光。

MIS 为每种策略的样本分配权重。本篇每轮从两种策略各取一个样本，采用 power heuristic：

wl(ω)=pl(ω)2pl(ω)2+pb(ω)2,wb(ω)=pb(ω)2pl(ω)2+pb(ω)2.w_l(\omega)=\frac{p_l(\omega)^2}{p_l(\omega)^2+p_b(\omega)^2}, \qquad w_b(\omega)=\frac{p_b(\omega)^2}{p_l(\omega)^2+p_b(\omega)^2}.

同一方向上 wₗ＋wᵦ＝1，因此两项积分合起来仍是原积分。每轮估计值为 wₗ(ωₗ)F(ωₗ)/pₗ(ωₗ)＋wᵦ(ωᵦ)F(ωᵦ)/pᵦ(ωᵦ)，其中 F 包含可见性、发射、反射函数和接收面余弦。两个权重通常在不同的抽样方向上求值，不能先算一对常数再到处复用。

两项相加后不再除以 2。各自的密度已经属于各自的采样策略，并不是先以二分之一概率选择某种策略的混合采样。若改成不同样本数，需要使用带 nᵢpᵢ 的一般权重，不能原样照搬本篇公式。

BSDF 分支命中灯时，竞争的 pₗ 从原散射点到实际命中灯点计算。相机直接看见灯则直接返回 Lₑ，不套这种“上一个散射点的两策略竞争”。以后加入理想镜面时，离散事件也不能当作普通连续 PDF 代入这个公式。

direct_light.hpp 返回单位反射率的直接光，调用者再乘 RGB 反射率。它复用累计 BVH、余弦方向采样、材质与盒子几何；灯对应固定场景的三角形编号 10、11。这个接口服务于一个矩形灯实验，尚不是任意场景的光源注册系统。

图像相似之外的数值对照

以下都是程序输出的 96×96 图像，每个着色点累计 256 轮，种子为 20260920。相机射线固定在像素中心，没有像素抖动。先在线性空间平均，再用 L/(1＋L) 压缩高光和 sRGB 编码。MIS 每轮有两种采样，另外两种每轮只有一种，因此这组图片是固定轮数的现象对照，不是等时间性能对照。

BSDF 图有明显斑点；灯采样与 MIS 在这个分辨率下近似。顶面的大部分区域很暗，是一次散射模型的结果：朝下的小灯没有直接照亮上方顶面。它不是多次反射收敛后的黑暗天花板预测。

地板探针的参考值使用灯面上的确定性中点积分，128² 格得到 0.11979534778547，256² 格得到 0.11979532145383，差约 2.63×10⁻⁸。参考积分采用面积形式，随机估计采用方向 PDF；可见性仍共用 BVH，所以加密相符不能独立证明求交器正确。

固定样本实验使用种子 1–8，每种策略每种子 131072 轮。终止条件固定，不根据图像好坏提前停止。下表标准误是八个运行均值的样本标准差除以 √8：

策略 八次均值 均值标准误
BSDF 0.116365433 0.001232494
灯面 0.119794533 0.000000370
MIS 0.119795166 0.000000204
错误的无权重相加 0.236011901 0.001555742

错误版本接近 2×0.119795321，足以区分“样本更充分”和“把同一份光算了两遍”。有限样本不会恰好等于期望；BSDF 均值低于参考约 2.8 个估计标准误，也说明八次运行不是很强的统计保证。程序的五标准误容差是一项可复跑检查，不能代替无偏性的积分推导。

几何控制另用种子 42，各策略运行 4096 轮：接收点与灯之间放完整遮挡平板，结果全为零；把灯翻面，结果也全为零；在灯后放平板，与原场景逐样本相等。另外建立只含一个遮挡面的独立 BVH，不放灯或天花板：平板位于目标点后方时可见，位于目标点前方时不可见。这项确定性检查直接核对有限阴影线段的长度边界。

同样 200 毫秒能算得多准

计时实验仍用同一探针、同一参考值和种子 1–8。每种策略先预热 4096 轮，正式阶段每 256 轮检查一次单调时钟，到 200 毫秒后结束；策略顺序随种子轮换。计时包括随机数、采样、求交和累加，不包括编译、参考积分和文件输出。

这测量的是 CPU 墙钟运行时间，既不是 GPU 执行时间，也不是整帧间隔。机器同时执行其他任务时，完成轮数会变化。记录实际耗时而不是把它们统一写成精确的 200 毫秒：

策略 完成轮数范围 实际毫秒范围 八次线性 MSE
BSDF 496128–553472 200.000–200.092 4.907×10⁻⁶
灯面 572928–642304 200.006–200.070 2.746×10⁻¹³
MIS 262144–296960 200.017–200.149 2.628×10⁻¹³

MSE 是八个最终估计分别减去参考值、平方后取平均，没有在色调映射后的像素值上计算。灯采样和 MIS 的结果很接近，不能据这八次观测宣布 MIS 稳定快于灯采样。对这种小灯加 Lambert 表面的组合，灯采样已经匹配了主要贡献区域；MIS 还要承担额外的方向采样和求交成本。

墙钟终止还可能与不同随机路径的成本相关，因此定时实验只用于这个预算下的误差观测。固定轮数实验与数学推导负责核对估计目标。到参考积分自身误差同量级时，也应加密参考，不能继续把它当作精确真值。

复跑命令如下。构建目录是输出位置，不应作为源文件提交。

1
2
3
make -C examples/computer-graphics build/direct_check
examples/computer-graphics/build/direct_check examples/computer-graphics/build
python3 examples/computer-graphics/summarize_direct.py examples/computer-graphics/build
固定样本原始记录、计时原始记录、跨种子汇总保留了每次运行的数值。计时复跑会产生新的完成轮数和误差，不应期待逐字相同。

练习与自检

练习一：PDF 换元。 面积为 0.5 的平面灯均匀采样，某灯点距接收点 2，灯面余弦为 0.8。它对应的方向密度是多少？若直接拿面积密度代入方向积分，贡献会偏大还是偏小？

解题要点：pₐ＝2，pₗ＝2×4/0.8＝10。把分母 10 错写成 2，会把该样本贡献放大五倍。接收面余弦不参与面积到立体角的换元，它属于反射积分本身。

练习二：重复计光与权重。 某方向 pₗ＝10、pᵦ＝1，两种策略各取一个样本。求两个 power 权重；为什么把最终两项再平均会使结果偏暗？

解题要点：wₗ＝100/101，wᵦ＝1/101。同一方向的权重和为 1，使两项期望相加恢复一份积分。再除以 2 会得到原积分的一半。这不意味着两个实际样本方向上的权重数值必然相加为 1，权重恒等式是在同一积分方向上成立。

练习三：灯采样何时可能失效？ 若表面改成极窄的高光反射瓣，面积采样仍均匀，原先的结论能否直接沿用？

解题要点：不能。灯面上的大部分方向可能落在反射瓣外，灯采样也会产生大量很小的贡献；BSDF 采样则可能更匹配反射瓣。应在相同几何、材质、曝光和预算下重新比较，两种策略都必须计算正确的竞争 PDF。理想镜面属于离散事件，还需要单独处理。

导航与参考资料

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