计算机图形学 01：点、向量与矩阵怎样表达几何

点先旋转再平移，和先平移再旋转，为什么会落在不同位置？若把矩阵相乘的顺序写反，程序通常仍能编译，物体也可能仍在画面里。仅凭“看起来动了”无法判断几何变换正确。

取点 $p=(1,0,0)$ ，绕 Z 轴旋转 90°，再平移 $(1,2,0)$ 。结果应为 $(1,3,0)$ ；反过来执行，结果是 $(-2,2,0)$ 。这两个可手算的结果将成为累计代码的检查样本。第 00 篇检查图像数组，本篇检查进入渲染器之前的几何数据。

三个数字相同，含义未必相同

点表示位置，向量表示位移或方向。例如点 A 与点 B 的差 $B-A$ 是从 A 指向 B 的位移；从 A 出发加上位移 v，得到点 $A+v$ 。两个位置相加通常不是需要的几何操作，除非同时说明所取的仿射组合，例如中点 $(A+B)/2$ 。

坐标依赖参考系。选择原点 O 与三个基向量 $e_x,e_y,e_z$ 后，点的坐标 $(x,y,z)$ 表示：

p=O+xe_x+ye_y+ze_z.

位移不含原点项。平移整个坐标参考原点会改变点的坐标，却不应把同一位移额外加上一段平移。用同一个三元数组保存二者并不自动保留这种区别，调用函数时仍须明确它是哪一种量。

本系列几何使用右手系， $e_x\times e_y=e_z$ 。它与第 00 篇图像数组的 X 向右、Y 向下不是同一坐标空间；屏幕变换将在第 02 篇显式连接二者。这里只讨论正交单位基，不能把下面的坐标点积公式直接套到任意斜基坐标上。

几何长度暂用统一的场景单位。方向归一化后无量纲，旋转角在程序接口中用弧度。把角度数值 90 直接传入 std::sin 不会得到 90° 的正弦，因为 C++ 三角函数采用弧度。

点积测投影，叉积确定垂直方向

在正交单位基下，两个向量的点积是：

a\cdot b=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z=\|a\|\|b\|\cos\theta.

若 b 已归一化， $a\cdot b$ 给出 a 沿 b 的有符号投影长度。这个条件不能省略：把 b 放大两倍，点积也会放大两倍，但方向未变。后续光照中的法线与光方向如果没有归一化，点积不再直接等于夹角余弦。

取 $a=(1,2,3)$ 、 $b=(4,-2,0)$ ，点积为 $4-4+0=0$ 。两者非零，因此相互垂直。零向量与任何向量的点积也为零，但零向量没有方向，不能据此给它定义一个 90° 夹角。

三维叉积展开为：

a\times b=(a_yb_z-a_zb_y,\ a_zb_x-a_xb_z,\ a_xb_y-a_yb_x).

其长度是两向量张成的平行四边形面积，方向遵循右手规则。交换输入次序会反号： $b\times a=-(a\times b)$ 。因此三角形顶点绕序决定由边向量叉积得到的法线方向。把绕序写反，不是“误差稍大”，而是法线朝向发生翻转。

平行向量的叉积为零。通过 normalized(cross(a,b)) 构造方向时，应先承认这种退化输入可能出现；对零结果继续除以长度，只会得到非有限数。当前实现选择抛出异常，调用方必须另行决定拒绝几何、重选参考轴还是保留退化标记。

归一化也有数值条件

非零向量的单位方向为 $\hat v=v/\|v\|$ 。对 $(3,4,0)$ ，长度为 5，结果为 $(0.6,0.8,0)$ 。公式简单，直接计算 sqrt(x*x+y*y+z*z) 却可能在中间平方阶段溢出或下溢。

例如 $(3\times10^{200},4\times10^{200},0)$ 的长度 $5\times10^{200}$ 仍可用本机 double 表示，但各分量平方已超出其范围；很小的对应向量又可能被平方成零。本实验使用嵌套 std::hypot 计算长度，再逐分量相除：

const double length = std::hypot(std::hypot(a.x, a.y), a.z);
if (!(length > 0) || !std::isfinite(length))
    throw std::domain_error("normalization requires finite nonzero length");
return {a.x / length, a.y / length, a.z / length};

它避免了本次大、小尺度样本的中间平方问题，不意味着接受任意浮点输入。零长度、无穷与 NaN 都被拒绝；真实长度超过 double 上限时也拒绝。直接先计算 1/length 再乘分量，在极小长度下还可能使倒数溢出，因此这里保留逐分量除法。

这不是一个通用鲁棒几何库。点积与叉积仍按普通双精度运算，极大输入可能溢出，几乎平行的向量也可能发生严重消减。当前验收限定为明确列出的有限样本；需要精确朝向判定时，应另外设计误差边界，而不是给所有问题统一加一个任意 epsilon。

为什么平移需要第四个分量

三阶矩阵可以表示线性变换，但线性变换一定把零向量映到零向量。平移会把原点移走，所以无法只靠三阶矩阵乘三维坐标表示。

在齐次表示中，点扩成 $(x,y,z,1)$ ，方向扩成 $(x,y,z,0)$ 。平移矩阵写成：

T=\begin{bmatrix} 1&0&0&t_x\\ 0&1&0&t_y\\ 0&0&1&t_z\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}.

这里固定使用列向量，变换写作 $p'=Tp$ 。将点代入，得到 $(x+t_x,y+t_y,z+t_z,1)$ ；将方向代入，平移列乘以零，结果仍为 $(x,y,z,0)$ 。同一个矩阵因此可以对两类量给出不同且合理的行为。

本篇仅使用仿射矩阵，最后一行为 $(0,0,0,1)$ ，不会改变这些 w 值。一般投影矩阵不满足这个限制，输出也不能直接当三维位置；透视除法与 w 为零的边界留到第 02 篇。当前代码中的 point 与 direction 是构造辅助函数，不是完整的类型系统，不能阻止调用者手动造出错误的四元数组。

乘法次序对应操作次序

绕 Z 轴旋转角 $\theta$ 的矩阵为：

R=\begin{bmatrix} \cos\theta&-\sin\theta&0&0\\ \sin\theta&\cos\theta&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}.

正角按右手规则定义。取 $\theta=\pi/2$ ， $(1,0,0)$ 变成 $(0,1,0)$ 。先旋转后平移，写作 $T(Rp)=(TR)p$ ，最右侧的矩阵最先作用。手算得到：

(1,0,0)\xrightarrow{R}(0,1,0)\xrightarrow{T}(1,3,0).

若先平移，点先变成 $(2,2,0)$ ，再旋转得到 $(-2,2,0)$ 。旋转作用于已经加上的位移，结果自然不同。这个例子证明一般情况下 $TR\ne RT$ ，并不否认某些特殊变换恰好可交换，例如沿同一轴的两次平移。

矩阵乘法满足结合律，实数数学中 $(TR)p=T(Rp)$ 。浮点程序改变括号也可能改变舍入，所以检查采用绝对容差 $10^{-12}$ ，没有要求比特相等。容差针对本实验数值量级约为 1 的样本；若场景坐标达到十亿，不能不加分析地复用相同标准。

内存布局不是乘法约定

math.hpp 用 std::array<std::array<double,4>,4> 保存矩阵，m[i][j] 是第 i 行第 j 列，行连续存放。乘列向量时，第 i 个输出是这一行与输入向量的点积：

r_i=\sum_{j=0}^{3}m_{ij}v_j.

矩阵相乘则是 $c_{ij}=\sum_k a_{ik}b_{kj}$ 。存储按行还是按列，是字节排列问题；使用列向量还是行向量，是代数表达问题。当前实现完全可以用行存储计算列向量，不能因为看见“row-major”就自动把公式转置。

后续上传 WGSL 矩阵时会显式整理内存布局，不直接复制这个 C++ 对象。上传格式还涉及浮点宽度与对齐，单凭两边都称为“四阶矩阵”不能断言二进制兼容。

运行结果与失败路径

累计工程新增 math.hpp 与 math_check.cpp，图像输出仍沿用第 00 篇的 image.hpp。在仓库根目录运行：

1 2	`make -C examples/computer-graphics check examples/computer-graphics/build/math_check --help`

make check 同时复跑第 00 篇检查，防止新增代码破坏已有输出。本次 Apple Clang 21、C++17 构建无编译警告，实际输出为：

TRp = 1,3,0,1
RTp = -2,2,0,1
PASS column vectors, right-handed rotation, direction w=0, composition
PASS dot/cross, normalization scales 1/1e-200/1e200, rejected 4 invalid inputs

检查的预期坐标来自前面的手算，没有用待测矩阵函数生成另一份“期望值”。程序还检查平移不改变方向、矩阵组合与逐步作用相符，以及叉积 $e_x\times e_y=e_z$ 。

归一化采用三个确定尺度：1、 $10^{-200}$ 、 $10^{200}$ ，都应得到 $(0.6,0.8,0)$ 。四个拒绝样本分别是零向量、含无穷的向量、含 NaN 的向量和平行向量的叉积。非法命令行参数返回非零并输出用法错误。这里没有随机采样、性能计时或图像质量结论；本篇验收对象是可逐项核对的几何数值。

练习与自检

练习一：改变平移方向。 仍使用绕 Z 轴 90° 的旋转，将平移改为 $(0,0,2)$ 。对点 $(1,0,0)$ ，两种顺序分别得到什么？这能否证明旋转和平移总可交换？

答案：先旋转得到 $(0,1,0)$ ，再平移得到 $(0,1,2)$ ；先平移得到 $(1,0,2)$ ，再旋转也得到 $(0,1,2)$ 。这次平移沿旋转轴，旋转没有改变该平移向量，因此可交换。它是特殊情形，不能推翻前文 $(1,2,0)$ 的反例。

练习二：法线为何成为 NaN。 三点 A=(0,0,0)、B=(1,0,0)、C=(2,0,0)，程序以 normalized(cross(B-A,C-A)) 构造法线。哪里失去定义？换成很小的非零常数作为分母是否修复了几何问题？

答案：三点共线，两边向量叉积为零，三角形面积为零，没有唯一的面法线方向。换分母只可能得到零向量或依赖误差的方向，没有恢复缺失的面。应按使用场景拒绝退化三角形或记录退化状态；本实现抛出异常，让调用方明确处理。

系列导航与资料

前篇：00：从一个像素到一张图像，也是系列入口。下一篇：02：相机怎样把空间投到屏幕。

PBRT 4ed §3.3 Vectors，3.3.1–3.3.2：向量运算、长度、归一化、点积与叉积。
PBRT 4ed §3.9 Transformations，3.9.1–3.9.6：矩阵、平移、缩放与旋转；本文只实现本次实验所需部分。
PBRT 4ed §3.10 Applying Transformations，尤其 3.10.6：组合变换及作用次序。正文公式遵循本系列列向量约定。

资料核对日期为 2026-09-19。源码位于 examples/computer-graphics/，原始输出位于 writing-plans/computer-graphics/evidence/01-cpu.txt。文中测试规模与失败策略是本系列自行设计，不是 PBRT 的完整测试或数值精度保证。