计算机图形学 E05：目标可达，关节为什么仍然不动

两根长度为 1 的杆，从原点伸向目标 (1,1)。给定关节角度，末端位置很容易计算；反过来给定末端位置，应该把两个关节转到哪里？这就是一个最小的逆运动学问题。

第 30 篇先指定骨骼姿态，再用权重带动网格。本篇向前多走一步：从目标位置求姿态。实验同时保留解析解和迭代解，检查“够不着”“迭代没有求到”和“杆长发生变化”这三种不同情况。一个可达目标，也可能让梯度迭代从第一步就停住。

先把杆长放进参数化

肩关节位于原点，两杆长度为 l₁、l₂，肩角为 θ₁，肘角 θ₂ 相对第一根杆定义。角度使用弧度，位置使用统一的模型长度单位。肘位置 q 和末端 p 是：

$$q=l_1\begin{pmatrix}\cos\theta_1\\\sin\theta_1\end{pmatrix},\qquad p=q+l_2\begin{pmatrix}\cos(\theta_1+\theta_2)\\\sin(\theta_1+\theta_2)\end{pmatrix}.$$

每次只更新两个角度，再重新计算位置，理论上就有 |q|=l₁、|p−q|=l₂。无需在每轮末尾拉伸或投影杆件来修补长度。

目标 t 的误差是 eₜ=|p−t|；杆长误差另记为 eₗ=max(||q|−l₁|, ||p−q|−l₂|)。前者衡量任务完成程度，后者检查几何约束。整条迭代轨迹中，eₗ 最大只有 2.220446049250313×10⁻¹⁶，但有些轨迹的 eₜ 始终为 1。长度正确不能代替目标误差检查。

这也区别于第 30 篇的线性混合蒙皮：那里两个刚性骨骼的加权结果可能收缩，这里直接用关节角度构造杆件，保持的是两段中心线长度。

可达环带与两个肘部方向

把两杆及原点到目标的连线看成三角形，三角不等式给出必要条件；反过来，满足该条件的三角形也能通过两个关节角构造出来。因此，没有关节角限制时，可达区域恰为：

$$|l_1-l_2|\le r\le l_1+l_2,\qquad r=\sqrt{t_x^2+t_y^2}.$$

注意这里比较的是距离 r，不能把平方距离与杆长直接比较。将正向位置平方展开，得到余弦定理和两组角度：

$$c=\frac{r^2-l_1^2-l_2^2}{2l_1l_2},\quad s=\pm\sqrt{1-c^2},\quad \theta_2=\operatorname{atan2}(s,c),$$

$$\theta_1=\operatorname{atan2}(t_y,t_x)- \operatorname{atan2}(l_2s,l_1+l_2c).$$

s 的两个符号对应两个肘部方向。等长杆到 (1,1) 的两组解是 (0,π/2) 与 (π/2,−π/2)，末端相同，中间关节不同。在伸直或完全折叠的边界上，两分支会合并。atan2 保留象限信息；角度相差整周时也可以描述相同姿态。这套几何构造可对照 Illinois ECE 470 的逆运动学讲义第 3–5 页。

目标不可达时，程序仍返回一个最近姿态，但明确保留 reachable=false。先把 r 限制到可达环带，再求角度，最小目标残差为 |r−clamp(r,|l₁−l₂|,l₁+l₂)|。

杆长	目标	可达	最小残差
1、1	(3,0)	否	1
1、0.5	(0.1,0)	否	0.4
1、0.5	(0.5,0) 或 (1.5,0)	是	0
0.5、1	(0,0)	否	0.5

原点还需要单独处理：等长杆完全折叠即可到达，肩角任意；不等长杆则有一整圈同样近的末端位置，仍然够不到原点。程序为这些方向不唯一的情况选一个代表姿态，不能把“存在一族最近解”写成“存在一族精确解”。等长折叠的浮点残差约为 1.22×10⁻¹⁶，来自三角函数求值。

用 Jacobian 把位置误差传回关节

解析解给出了可达性和最优残差，接下来用它检查迭代法。定义目标函数 F(θ)=½|p(θ)−t|²，对两个角度求导：

$$J=\frac{\partial p}{\partial\theta}= \begin{pmatrix} -p_y&-l_2\sin(\theta_1+\theta_2)\\ p_x&l_2\cos(\theta_1+\theta_2) \end{pmatrix},\qquad g=J^T(p-t).$$

一轮更新是 θ←θ−ηg。源码在三个非奇异姿态上用中心差分独立检查梯度，差分间距为 10⁻⁶，两分量误差均小于 10⁻⁸。

η 是优化步长。第 31、32 篇的 dt 表示物理时间，这里的一次迭代没有对应多少秒，也没有质量、力或速度状态。把求解过程播放成动画，不会使它自动成为物理运动；橙色轨迹表示历次末端位置。

位置单位也会影响合适的 η。若把杆长和目标坐标同时乘以 a，角度不变，位置残差与 Jacobian 都乘以 a，梯度便乘以 a²。要保持相同角度更新，η 应除以 a²。因此，同一个数值步长不能不经检查就搬到尺度不同的角色上。

步长多大才有下降保证

“较小步长比较稳”可以写成有条件的不等式。令目标极角为 φ，将 F 展开，去掉与角度无关的常数 K：

$$F=K+l_1l_2\cos\theta_2-l_1r\cos(\theta_1-\phi) -l_2r\cos(\theta_1+\theta_2-\phi).$$

三个余弦项的 Hessian 范数分别不超过 l₁l₂、l₁r、2l₂r，故全局上界可取 L=l₁l₂+l₁r+2l₂r。Taylor 余项给出：

$$F(\theta-\eta g)\le F(\theta) -\eta\left(1-\frac{\eta L}{2}\right)\|g\|^2.$$

当 0<η<2/L 且 g≠0 时，一步更新保证下降。这个上界是充分条件，超过它不代表每一步必然变坏；满足它也不保证到达全局最优，更不保证固定预算内误差归零。

常规实验取两杆长度 1，目标 (1,1)，初始角 (0.2,0.4)。此时 L=1+3√2，2/L≈0.381487。实际结果如下，最后一列统计 200 步中 F 比上一步增加超过 10⁻¹² 的次数。

η	10 步目标误差	40 步目标误差	200 步目标误差	F 上升次数
0.05	0.503746	0.426158	0.0500456	0
0.2	0.426680	0.0984427	3.41392×10⁻⁷	0
2	2.17806	2.54428	3.26107	104

η=0.05 和 0.2 都满足下降条件，但预算效果不同。η=2 的轨迹反复增大目标函数，200 步后的误差甚至超过两根杆的总长。程序没有把它替换成成功轨迹，也没有因杆长正确而判定求解成功。

目标在身前，梯度却为零

把目标改成 (1,0)，初态改成两杆水平伸直，即 θ=(0,0)。目标位于可达区域内部，但此时 p=(2,0)，并且：

$$J=\begin{pmatrix}0&0\\2&1\end{pmatrix},\quad p-t=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},\quad g=0.$$

关节微小转动的一阶位移沿竖直方向，与当前水平误差正交。折叠可以缩短水平距离，但这一变化在当前姿态的一阶导数里没有表现出来。于是三个 η、三个预算组成的九组实验全部保持目标误差 1，梯度为零，杆长误差也为零。减小步长或增加这里的迭代次数都不能改变零更新。

解析解可直接找到折叠姿态。改用非奇异初值也可能让梯度法开始移动，但不能据此承诺任意目标都收敛。本实验没有实现重启、线搜索或其他求解器。

结束状态至少应连同目标误差一起报告。预算耗尽只表示停止计算；更新量很小可能表示接近解，也可能像直杆案例一样停在非零残差处。有解析下界时，还可以比较当前误差与可达到的最小残差，避免对不可达目标提出误差归零的验收要求。

复跑与检查边界

从仓库根目录执行下面两条命令，二进制和生成物都位于仓库 build 目录：

clang++ -std=c++17 -O2 -Wall -Wextra -Wpedantic -Werror examples/computer-graphics/ikE05_check.cpp -o examples/computer-graphics/build/ikE05_check
examples/computer-graphics/build/ikE05_check examples/computer-graphics/build/ikE05

头文件与检查程序给出完整实现。summary.csv保留 18 组结果，iterations.csv保留包含初态的 1518 行轨迹，analytic.json保留七种目标的两分支结果。程序另生成 38 张 PPM；本文图片由对应 PPM 转换，蓝、绿分别表示两根杆，红点表示目标。

验收包括解析手算值、梯度差分、全程杆长及奇异初态。零杆长、NaN 目标、零步长、非平面目标和过小杆长这五项输入均被拒绝。--help 返回 0，未知参数返回 1。输入检查允许的步长上限只是数值范围约束，不能当作收敛保证。

这里没有关节角限位、障碍物碰撞或布料。解析可达环带以关节自由旋转为前提；加入角限位后要重新判断可达性，穿过障碍物的姿态也不会被当前代码拒绝。第 32 篇的碰撞处理不能自动由这个角度更新过程获得。完整运行记录见CPU 回执。

自检

1. 杆长为 1、0.5，目标为 (0.1,0)，能否通过更多迭代消除误差？不能。目标位于内侧不可达区域，最小误差为 0.5−0.1=0.4。
2. 两根单位杆伸直时，到 (1,0) 的误差为 1，但梯度为零，是否证明目标不可达？不能。两组解析解为 (−π/3,2π/3) 与 (π/3,−2π/3)，零梯度只描述当前姿态的局部一阶信息。
3. η=2 时杆长误差接近机器精度，能否认定求解器正确收敛？不能。杆长由参数化保持，而 200 步目标误差约 3.26107，且出现 104 次目标函数上升；两项误差回答不同问题。

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