计算机图形学 30：骨骼怎样带动网格

一段圆柱的底端固定，顶端绕轴转半圈。给每个顶点分配两根骨骼的权重，再混合骨骼变换，圆柱中间却缩成一点。骨骼都是刚体旋转，顶点为什么仍然发生收缩？

判断这种画面之前，需要排除另一种问题：绑定姿态是否已经移动了顶点。漏掉绑定逆矩阵、乘错次序或把关节编号当成场景节点编号，都能产生错误变形。两骨骼实验先检查这些条件，再用解析半径证明扭转收缩是线性混合蒙皮本身的限制。

网格坐标与关节坐标必须有明确关系

第 16 篇的场景图只求每个节点的世界变换。一个网格实例应用一个矩阵，所有顶点一起运动。骨骼动画则允许同一网格的不同顶点受到不同关节影响，甚至同一个顶点同时受两根骨骼影响。

沿用右手系、列向量和弧度。C++ 的矩阵按行存储，乘法作用方向仍是右侧先执行，不能从内存排列推断几何次序。当前网格的绑定顶点直接处于参考世界坐标，不额外使用网格节点变换。

记第 j 根骨骼绑定时的世界矩阵为 Bⱼ，当前世界矩阵为 Gⱼ(t)。绑定逆矩阵把绑定网格中的点转换到该关节的绑定局部坐标，当前世界矩阵再把它变换回来：

$$C_j(t)=G_j(t)B_j^{-1},\qquad \widetilde p_j(t)=C_j(t)\widetilde p.$$

波浪号表示四分量齐次点 (x,y,z,1)。这不是“再给顶点加一次骨骼位置”：先撤销绑定姿态，再应用当前姿态，两个操作缺一不可。

例如第二根骨骼绑定在 y=1，顶点 p=(1,1,0)，那么 B₁⁻¹p=(1,0,0)。当前骨骼在同一位置绕 +z 转 90°，G₁=Tᵧ(1)Rz(90°)，点应到 (0,2,0)。它绕关节位置旋转，而不是绕世界原点旋转。

这里写成 B⁻¹依赖本篇绑定网格与参考世界一致的约定。更一般的资产可能把绑定形状变换折入顶点或 inverse-bind 数据；不能见到任意模型就仅反转节点世界矩阵。Khronos 的蒙皮教程在这个简化坐标约定下解释关节矩阵；glTF 资产中的实际 inverse-bind 数据应按其定义读取。

层级求值与顶点混合是两个步骤

根关节的世界矩阵等于其局部矩阵。子关节先乘父节点世界矩阵：

$$G_0=L_0,\qquad G_1=G_0L_1.$$

实现复用第 16 篇 evaluate_scene。本例 G₀=I，子关节局部矩阵为 Tz(2)Rz(θ)，因此绑定时 B₁=Tz(2)，其逆矩阵为 Tz(−2)。父节点当前保持单位变换，不表示一般骨架的父节点可以忽略。

层级先求出 G，之后才根据每个顶点的权重组合 C。顶点的两项影响分别保存关节索引和权重，索引指向骨骼 palette 的槽位。本实验恰好有两个槽位；一般 glTF 中 JOINTS 值索引 skin.joints 数组，不能直接当成场景节点编号。

线性混合蒙皮（LBS）对变换后的点做加权和：

$$\widetilde p'=\sum_j w_jC_j\widetilde p,\qquad w_j\geq0,\quad \sum_jw_j=1.$$

仿射变换保持齐次最后一项为 1；权重和为 1 时，混合结果也是一个普通齐次点。实现对权重进行非负、有限与总和检查，容差为 10⁻¹²，没有自动归一化。把一组错误权重悄悄归一化，会掩盖数据导出或索引错误。

当前固定两个影响槽位，不是任意数量关节的资产导入器。零权重对应的索引也必须合法；交换槽位时同步交换索引和权重，结果应相同。矩阵要求有限、仿射，并限制元素幅度；绑定逆矩阵帮助函数仅处理已知的纯平移，遇到旋转或缩放明确拒绝，不冒充通用矩阵求逆。

glTF 未提供 inverseBindMatrices 时按单位矩阵处理，不会自动从绑定关节算出 B⁻¹。规范还规定蒙皮网格节点自身的变换在蒙皮时忽略。自有实验的坐标约定与 glTF 资产规则应分别说明，不能混合成一套未实现的导入行为。

绑定姿态提供第一道数值检查

若骨架仍处于绑定姿态，Gⱼ=Bⱼ，因此每个 Cⱼ都是单位矩阵：

$$\widetilde p'=\sum_j w_jI\widetilde p=\widetilde p.$$

只要权重归一，绑定时网格应保持原位置。这项检查不依赖画面看起来是否像一个圆柱。程序遍历全部 216 个绑定顶点，最大位置差为 5.55112×10⁻¹⁷，低于 10⁻¹² 阈值。

圆柱共有 9 个环，每环 24 个顶点，高度 z 从 0 到 2，半径为 1。相邻环每格切成两个三角形，共 384 个三角形；两端不封口，48 条边界边。复用第 12 篇 Mesh 检查绑定网格的连通性和非零面积，避免用不合法的初始网格解释之后的变形。

权重随高度线性变化，第二根骨骼 w₁=z/2，第一根骨骼 w₀=1−z/2。底环只受根关节影响，顶环只受子关节影响，中环恰好各占一半。这是人为规定的实验权重，未实现自动权重生成、绘制权重或肌肉模拟。

另一个手算控制固定 p=(1,1,0)、B₁=Ty(1)、G₁=Ty(1)Rz(90°)，两骨骼各占一半。正确结果是 (0.5,1.5,0)。三种计算给出：

计算	混合后位置
正确 G₁B₁⁻¹	(0.5,1.5,0)
漏掉绑定逆矩阵	约 (0,1.5,0)
错用 B₁⁻¹G₁	约 (0,1,0)

漏逆矩阵的误差为 0.5；逆序结果距正确值约 0.7071。这里刻意用 y 方向平移，使平移与 z 旋转不交换。圆柱的 z 轴平移恰好与 z 旋转交换，只测那个模型会漏掉矩阵次序错误。

两个刚体旋转的平均不一定是刚体

圆柱实验中 C₀=I，而 C₁=Tz(2)Rz(θ)Tz(−2)=Rz(θ)，因为沿旋转轴的平移相互抵消。取任一环上的点 p=(r,0,z)，第二根骨骼权重为 w，混合得到：

$$p'=\bigl(r(1-w+w\cos\theta),rw\sin\theta,z\bigr).$$

将 x、y 分量平方相加，可得到变形后半径 r′：

$$\frac{r'}r=\sqrt{1-4w(1-w)\sin^2(\theta/2)}.$$

对环上其他角度的点，同样得到这个半径比例。它只依赖权重和两根骨骼的相对旋转角。两端 w=0 或 1，比例都是 1；中环 w=1/2，比例变成 |cos(θ/2)|。

子关节角度	中环半径，程序实际值
0°	1
90°	0.707106781186548
180°	6.12323399573677×10⁻¹⁷

180°时理论值为零，实际残差来自 sin、cos 的浮点近似。此时每个中环点与其旋转半圈后的点方向相反，等权相加抵消，整个环塌到轴线上。这与绑定矩阵和权重检查全部通过并不矛盾。

上图由实际输出顶点经过累计 look_at、正交投影、齐次除法和 viewport 生成。每个面板画出同一绑定网格的 600 条唯一边，橙色强调 z=1 的中环，虚线标出轴。它是程序结果的线框诊断，不是人工绘制的算法示意，也没有声称是光照渲染。

180°时某些三角形会退化。因此程序保留已验证的绑定拓扑与变形后位置数组，没有把塌缩后的顶点再次构造为要求非零面积的 Mesh。若把失败的变形重新强制修成合法网格，会改变待观察的结果；若下一阶段需要求法线，则必须为退化面积明确制定策略。

解析式与画面分别证明什么

CPU 对三个姿态、全部 648 个顶点比较独立的二维旋转加权表达式。位置最大误差为 0；27 个环的半径最大误差为 2.22045×10⁻¹⁶，高度误差为 0。两端环还与第 29 篇的四元数刚体旋转比较，最大差为 3.14018×10⁻¹⁶。

位置对照为零只是本次双精度计算路径的观测，半径检查才进一步约束了几何性质。JSON 保留绑定顶点、三角形、每顶点影响、绑定矩阵、绑定逆矩阵、当前世界矩阵和变形后位置；独立解析检查重新计算矩阵乘积及所有输出顶点，避免只看程序自己的 PASS。

完整半径表在 skinning30-radii.csv，机器可读场景在 skinning30.json。程序没有随机输入，三个角度与固定网格运行一次即终止；这里没有性能统计或 GPU 蒙皮验收。

11 项非法输入检查覆盖越界关节、负权重、权重和不为 1、NaN、无穷、非有限点、非仿射矩阵，以及超出帮助函数能力的绑定变换。帮助命令成功退出；缺少参数或输出目录不存在则返回失败，防止生成路径错误被当成完成。

换一种旋转表示能否解决收缩

第 29 篇用四元数在两个姿态之间插值，不等于给每个顶点线性平均两个旋转矩阵。本例中两个刚体矩阵的加权和通常不再正交，因此可能缩放或剪切；问题不在单个关节旋转是否使用了四元数。

Kavan 等 2007 年论文 §3.1 的式 (1) 和 Figure 2 讨论了 LBS 的这种限制，并给出双四元数蒙皮路线。当前实验没有实现双四元数，不能从一张不收缩的示意图宣称已经验证替代算法。双四元数的符号处理、归一化、尺度支持与其他形变伪影也需要单独验收。

改变权重可以移动或减轻收缩区域，却不能证明 LBS 在所有扭转条件下保持体积。加入更多骨骼或几何修正也属于模型选择；本篇保留两骨骼反例，方便明确区分算法性质与输入错误。

练习与复跑

练习一：中环等权，θ=120°，半径应为多少？若第二根骨骼的权重改为 1/4，半径又是多少？

解题要点：等权时 |cos60°|=0.5。w=1/4 时根号内为 1−4×(1/4)×(3/4)×(3/4)=7/16，所以比例为 √7/4，约 0.661438。权重偏离一半会减轻本例收缩，但没有恢复到半径 1。

练习二：绑定时两骨骼矩阵都正确，但权重写成 (0.4,0.4)，不归一化的三维加权结果为何错误？可以据此判断扭转收缩也是权重错误吗？

解题要点：绑定时结果为 0.8p，已经整体收缩；齐次最后一项也为 0.8。当前入口直接拒绝该数据。正确归一的等权权重在 180°时仍会塌缩，因此两种问题需要分别用绑定检查和旋转半径检查区分。

练习三：只用 Tz(2) 与 Rz(θ) 测矩阵次序，为什么不能保证乘法正确？换成怎样的控制能发现错误？

解题要点：沿旋转轴平移与该轴旋转交换，错误次序可能给出相同结果。使用 Ty(1)、Rz(90°) 和不在旋转中心的 p=(1,1,0)，本篇正确/逆序结果分别为 (0.5,1.5,0) 与约 (0,1,0)。

make -C examples/computer-graphics build/skinning30_check
examples/computer-graphics/build/skinning30_check examples/computer-graphics/build

入口为 skinning30.hpp 与 skinning30_check.cpp，复用 scene.hpp、mesh.hpp、camera.hpp 和 quaternion.hpp。输出目录必须已经存在。可执行文件留在仓库的 build 目录，生成图片和数据作为文章素材保留。

参考资料与导航

• glTF 2.0.1 §3.7.3 Skins，关节索引、权重和蒙皮节点坐标规则；§5.28.1，缺省 inverse-bind 的单位矩阵语义。
• Khronos Tutorial 020：The joint matrices，绑定逆矩阵与当前世界矩阵的作用次序。
• Kavan 等，Skinning with Dual Quaternions，2007，§3.1 式 (1) 与 Figure 2，线性混合刚体变换为何产生收缩。实际资料阅读和运行记录分别见 research-30.md 与 30-cpu.txt，位于 writing-plans/computer-graphics/evidence/。

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