计算机图形学 14：粗网格怎样变成曲面
把四面体每个面切成四个小三角形，它会变圆吗？如果所有新增点仍在原来的面上，答案是否定的：面数增加，几何外形却没有改变。曲面细分还必须更新顶点位置，而且更新规则要区分内部和边界。
本篇复用第 12 篇的索引网格与半边邻接，主实现选择三角网格 Loop 细分。单三角形检验边界，闭合四面体检验内部规则，两组都实际执行多次更新。第 13 篇的曲线说明了加权平均可以改变形状；这里还要保证相邻面共享同一个新增顶点。
一轮细分有两件事
对旧三角形 (a,b,c)，先在三条边上各生成一个新顶点，编号记为 ab、bc、ca。四个子面依次写为 (a,ab,ca)、(b,bc,ab)、(c,ca,bc)、(ab,bc,ca)。这个顺序保留旧面的绕序。
拓扑拆分之外，还有位置更新。旧顶点 a 的新位置不是旧坐标的别名；边点 ab 也不一定是边的中点。所有位置都根据旧层网格计算，之后一起成为新层的顶点数组。
若一边遍历一边改写旧坐标，稍后访问的顶点就会混合新旧两层数据。输出不仅偏离规则，还可能依赖遍历顺序。subdivision.hpp 的 loop_step 复制位置数组用于输出，所有加权输入都明确读取 mesh.positions，不在旧网格上原地平滑。
每条无向边只产生一个新顶点。代码用与半边表等长的 edge_vertex 保存编号；内部边第一次生成新点后，把编号同时写到 h 和 twin 的槽位。第二个邻面于是复用同一索引，而不是创建一个坐标相同、拓扑却断开的副本。
内部规则怎样使用一环
设内部旧顶点 v 有 n 个邻点 vᵢ。当前采用 PBRT 第三版 §3.8 所实现的权重版本：n=3 时 β=3/16，其余内部价数 β=3/(8n)。新位置为：
n 是相邻顶点数。规则内部价数 n=6 时，β=1/16，中心权重为 5/8。价数为 3 时中心权重是 7/16，不能把 n=6 的固定权重直接用于四面体。
这里明确采用教材注明的 Hoppe 等人的改进权重，不把所有称为 Loop 的权重表达式视为同一个实现。浮点代码直接使用这些分数，实验没有通过调参数去迎合一张目标图。
对内部边 (a,b)，两侧三角形的对顶点记为 c、d，新边点为：
四个权重和为 1。平面输入仍保持在原平面上，整体平移输入也应只导致输出同样平移。只取 (a+b)/2 虽然能把边切开，却漏掉了两侧面的几何信息，不是这里使用的内部边规则。
当前 Mesh 已保证每条内部边恰有两个反向半边、每个顶点具有单一扇区，故可以沿 next.next 找到三角形对顶点。这个前提来自第 12 篇构造器；若直接破坏公开的半边数组，细分函数不会额外提供任意损坏输入的安全解析。
边界必须采用另一组规则
边界边只有一个邻面，内部公式中的第二个对顶点不存在。当前选择新边界点为中点 e=(a+b)/2；旧边界顶点只用两侧边界邻点 l、r 更新为：
第 12 篇的一环对边界返回开放链，首尾恰好是这两个边界邻点。链中间的内部邻点不参与这个更新。代码通过缺少 twin 的出边标记边界顶点，再读取 ring.front() 与 ring.back()。
取单三角形 (0,0,0)、(1,0,0)、(0,1,0)。第一轮中，原点移到 (1/8,1/8,0)，边 (0,1) 的新点是 (1/2,0,0)。程序对这两个位置逐项检查，而不是只检查顶点数量。
图像来自实际 CPU 光栅器，每块 256×256，从左到右为第 0、1、2 层；相机、正交视野和缩放不变。两种颜色按面编号交替，仅便于识别覆盖，不表示曲率或误差。
轮廓的角被平滑且边界向内移动，正是该边界规则的结果。“有边界处理”不等于“保持原多边形边界位置”。若建模需要固定角点、锐边或折痕，需要额外的特征标记及对应规则；本实现不把这些不同需求混成一个默认选项。
两轮中的所有顶点都检查 z=0、x≥0、y≥0、x+y≤1，确认仍在原三角形凸包中。这个有限样例验证平面与范围约束，没有证明任意复杂控制网格都不发生自交。
数量关系怎样发现重复边点
每条旧边增加一个顶点，每个旧面变成四个子面。旧边各拆为两段，每个旧三角形内部再增加三条边，因此一轮的计数应满足：
B 是边界无向边数。由这些关系可得 V′−E′+F′=V−E+F，欧拉示性数不变。它仍不是流形性的充分条件，所以输出重新通过 Mesh 构造器的一环、重复面、绕序和退化检查。
实际运行得到：
| 网格与层数 | V | E | F | B |
|---|---|---|---|---|
| 单三角形 0 | 3 | 3 | 1 | 3 |
| 单三角形 1 | 6 | 9 | 4 | 6 |
| 单三角形 2 | 15 | 30 | 16 | 12 |
| 四面体 0 | 4 | 6 | 4 | 0 |
| 四面体 1 | 10 | 24 | 16 | 0 |
| 四面体 2 | 34 | 96 | 64 | 0 |
| 四面体 3 | 130 | 384 | 256 | 0 |
如果两侧面各自创建边点，V′通常会超过 V+E，共享位置也会变成裂开的拓扑。只检查 F′=4F 抓不到这种错误。实验每一轮同时检查四个计数式及连接关系，不能靠其中一项替代其余项。
四面体为什么明显缩小
闭合实验的四个位置为 (1,1,1)、(−1,−1,1)、(−1,1,−1)、(1,−1,−1)。网格关于原点对称，各点价数为 3。其余三个顶点之和恰好是 −v，所以旧顶点第一轮应变成：
对任一旧边，其余两点之和为 −(a+b)，因而新边点为 (a+b)/4。程序分别核对所有四个旧点和第一条边点，提供独立于遍历代码的手算基准。
四块图像仍是固定相机和固定缩放。表面采用几何面法线与同一方向光，在线性域计算明暗，再使用累计 sRGB 输出；没有换成平滑法线来掩盖面片。因此后两层仍能看到较细的平面明暗差异。
顶点到原点的最大距离，四层分别为 1.7320508076、0.5、0.3576725982、0.3471236704。第一轮的新边点比更新后的旧顶点离原点更远，所以最大值为 0.5，不是 √3/4。图像中的收缩有数值依据，不能解释成相机缩放变化。
这种规则把控制网格解释为定义曲面的控制数据，没有要求保留原体积或逐点贴合输入表面。若任务是给已有三角面加密但保持外形，应选择纯拓扑细分；若任务是平滑造型，收缩是否可接受则取决于建模意图。
实验还把每层输入整体平移 (2,−3,4)，比较“平移后细分”和“细分后平移”。三次最大位置误差均为 0，得益于该样例中坐标及权重的二进制可表示性。其他数据不能据此宣称零浮点误差。每个生成面也检查法线朝外，避免内外方向错误影响照明判断。
有限网格和极限曲面不能混称
程序固定执行两轮边界细分、三轮闭合细分后停止。输出仍是有限的三角网格，不是已经直接求值的极限曲面。增加层数使面数按 4 的幂增长，也会增加存储、邻接验证和光栅化工作。
PBRT 的实现还包含把顶点投到极限位置以及计算极限切向的步骤；当前代码没有执行这两步。因而这里的第 0 层就是原始控制网格，不能与教材中已投影到极限位置的同名展示层数直接比较。
现有 Mesh 为每个顶点扫描半边表建立一环，适合本实验 256 面的上限，不是大规模细分库。提升规模时应改善邻接入口与遍历成本，但应继续保留本篇的权重和拓扑验收。
Catmull-Clark 是另一种常见细分方案：它以面点、边点和更新后的旧顶点生成子四边形，适合以四边形为主的控制网格；Loop 要求三角面，并在每轮保留三角面。本系列当前数据结构固定三角形，主实现选 Loop，Catmull-Clark 只作路线对照。不能先随意把四边形三角化，再声称与原 Catmull-Clark 曲面完全相同；连接关系已参与定义结果。
复跑与练习
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代码在 subdivision.hpp 与 subdivision_check.cpp。输出 loop-boundary.ppm 和 loop-closed.ppm，PNG 由这些实际结果转换；原始数值记录在 writing-plans/computer-graphics/evidence/14-cpu.txt。没有随机采样、GPU 执行或性能对比。
练习一：一个由两个三角形组成的方形有 V=4、E=5、F=2、B=4。执行一轮后四项数量各是多少？两轮后的面数是多少？
答案：一轮 V=9、E=16、F=8、B=8，欧拉示性数仍为 1；两轮面数为 32。内部共享对角线只新增一个点，不能按每面三条边各新增一次。
练习二：单三角形顶点 v=(0,0)，两个边界邻点为 (1,0)、(0,1)。若边界规则被误写成“保持旧顶点不动”，计数式会不会失败？需要哪项验收区分？
答案：计数仍可能全部通过，因为位置错误没有改变连接。应检查更新位置为 (1/8,1/8)，并用固定视野的轮廓图辅助观察。拓扑数量和几何位置是两种独立验收。
系列导航与资料
前篇：13：少量控制点怎样生成曲线。系列入口。后篇：15：怎样减少面数又控制形变。
PBRT 第三版 §3.8 Subdivision Surfaces，核对 beta、weightOneRing、weightBoundary、边点与子面构造，并区分后续极限位置步骤。Pixar OpenSubdiv 官方说明，Subdivision Schemes 与 Boundary Interpolation Rules，核对 Loop/Catmull-Clark 的输入类型和边界规则并非唯一默认。两份材料于 2026-09-20 实际读取；本篇数值表与图像来自独立累计工程。
